Пуассона процесс

Пуассо́на пото́к (проце́сс), (устар. Пуассоновский процесс) — поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет Пуассона распределение с параметром Λ(А). В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

$\Lambda(A)=\int\limits_{a}^{b} \lambda(t)\, dt$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть $\lambda > 0$. Случайный процесс $\{X_t\}_{t \ge 0}$ называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$, если

1. $X_0 = 0$ почти наверное.
2. $\{X_t\}$ — процесс с независимыми приращениями.
3. $X_t - X_s \sim \ \mathrm{P}(\lambda(t-s))$ для любых $0 \le s < t < \infty$, где $\mathrm{P}(\lambda(t-s))$ обозначает распределение Пуассона с параметром $\lambda(t-s)$.

Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс

• Пусть $\xi_1 , ..., \xi_n$ последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть $N(t)$ - простой пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$, не зависящий от последовательности $\xi_1 , ..., \xi_n$.

Обозначим через $S_k$ cумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс $\{Y_t\}$ как $S_{N(t)}$ .

Свойства

• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

$\mathbb{P}(X_t = k) = \frac{\lambda^k t^k}{k!} e^{-\lambda t}, \quad k = 0,1,2,\ldots$.

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

$\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 0) = 1-\lambda h + o(h)$

$\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t = 1) = \lambda h + o(h)$

$\mathbb{P}(X_{t+h} - X_t > 1) = o(h)$ при $h \to 0$,

где $o(h)$ обозначает «о малое».

• Пуассоновский процесс стационарен.

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс $\{X_t\}$ с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. $X_0 = 0$.
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. $P\{X_h \geq 2\} = o(h)$ при $h \searrow 0$.

Информационные свойства

• Пусть $\tau_1,\dots,\tau_n$ — моменты скачков процесса Пуассона. $T= \tau_j- \tau_{j-1}$.

Зависит ли $T$ от предыдущей части траектории?
$\mathbb P(\{T>t+s \mid T>s\})$ — ?

Пусть $u(t)= \mathbb P(T>t)$.

$u(t\mid s)=\frac{ \mathbb P(T>t+s\cap T>s)}{ \mathbb P(T>s)}=\frac{\mathbb P(T>t+s)}{\mathbb P(T>s)}$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t) \Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}$.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок $[a,b]$ на временно́й оси.

$X(b)-X(a)=n$ — число скачков на отрезке $[a,b]$.
Условное распределение моментов скачков $\tau_1,\dots,\tau_n\mid X(b)-X(a)=n$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины $n$ из $R[a,b]$.

Плотность этого распределения $f_{\tau_1,\dots,\tau_n}(t)=\frac{n!}{(b-a)^n}\mathbb{I}(t_j\in[a,b]\ \forall j=\overline{1,n})$

ЦПТ

• Теорема.

$\mathbb P\biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{ \lambda t}}< x\biggr)\underset{\lambda t\to\infty}{\overset x\rightrightarrows}\Phi(x)\sim N(0,1)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{u^2}2}du$

Скорость сходимости:
$\sup\limits_x\biggl|\mathbb P \biggl(\frac{X(t)-\lambda t}{\sqrt{\lambda t}}< x \biggr)-\Phi(x)\biggr| \leqslant\frac{C_0}{\sqrt{ \lambda t}}$,
где $C_0$ — константа Берри-Эссеена.

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

См. также

• Поток однородных событий
• Теория массового обслуживания