Ориентированный граф

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Путь в орграфе»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ориентированный граф (кратко орграф) — (мульти) граф, рёбрам которого присвоено направление. Направленные рёбра именуются также дугами, а в некоторых источниках и просто рёбрами. Граф, ни одному ребру которого не присвоено направление, называется неориентированным графом или неорграфом.

Основные понятия[править | править код]

Формально, орграф состоит из множества , элементы которого называются вершинами, и множества упорядоченных пар вершин , элементы которого называются дугами.

Дуга инцидентна вершинам и . При этом говорят, что  — начальная вершина дуги, а  — конечная вершина.

Орграф, полученный из простого графа ориентацией рёбер, называется направленным. В отличие от последнего, в произвольном простом орграфе две вершины могут соединяться двумя разнонаправленными дугами.

Направленный полный граф называется турниром.

Связность[править | править код]

Маршрутом в орграфе называют чередующуюся последовательность вершин и дуг, вида (вершины могут повторяться). Длина маршрута — количество дуг в нём.

Путь есть маршрут в орграфе без повторяющихся дуг, простой путь — без повторяющихся вершин. Если существует путь из одной вершины в другую, то вторая вершина достижима из первой.

Контур есть замкнутый путь.

Для полумаршрута снимается ограничение на направление дуг, аналогично определяются полупуть и полуконтур.

Орграф сильно связный, или просто сильный, если все его вершины взаимно достижимы; односторонне связный, или просто односторонний, если для любых двух вершин, по крайней мере, одна достижима из другой; слабо связный, или просто слабый, если при игнорировании направления дуг получается связный (мульти)граф;

Максимальный сильный подграф называется сильной компонентой; односторонняя компонента и слабая компонента определяются аналогично.

Конденсацией орграфа называют орграф , вершинами которого служат сильные компоненты , а дуга в показывает наличие хотя бы одной дуги между вершинами, входящими в соответствующие компоненты.

Дополнительные определения[править | править код]

Направленный ациклический граф или комок есть бесконтурный орграф.

Ориентированный граф, полученный из заданного сменой направления рёбер на противоположное, называется обратным.

Изображение и свойства всех орграфов с тремя узлами[править | править код]

Легенда: С — слабый, ОС — односторонний, СС — сильный, Н — является направленным графом, Г — является гамаком (ациклический), Т — является турниром

0 дуг 1 дуга 2 дуги 3 дуги 4 дуги 5 дуг 6 дуг
пустой, Н, Г
Н, Г
ОС
CC
CC
полный, CC
ОС, Н, Г
CC, Н, Т
CC
C, Н, Г
ОС, Н, Г, Т
ОС
C, Н, Г
ОС
ОС

Применение орграфов[править | править код]

Орграфы широко применяются в программировании как способ описания систем со сложными связями. К примеру, одна из основных структур, используемых при разработке компиляторов и вообще для представления компьютерных программ — граф потоков данных.

Бинарные отношения[править | править код]

орграф отношения делимости

Бинарное отношение над конечным носителем может быть представлено в виде орграфа. Простым орграфом представимы антирефлексивные отношения, в общем случае требуется орграф с петлями. Если отношение симметрично, то его можно представить неориентированным графом, а если антисимметрично, то направленным графом.

Прочее[править | править код]

Алгоритм Суурбалле — алгоритм нахождения двух непересекающихся (не имеющих общих рёбер) путей в ориентированном графе с неотрицательными весами, так что оба пути связывают ту же самую пару вершин и имеют минимальную общую длину.

Литература[править | править код]

  • Харари Ф. Теория графов. — М.: УРСС, 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.
  • Оре, Ойстин. Теория графов. — М.: УРСС, 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
  • Альфред В. Ахо, Моника С. Лам, Рави Сети, Джеффри Д. Ульман. Компиляторы: принципы, технологии и инструменты, 2 издание = Compilers: Principles, Techniques, and Tools. — 2 изд. — М.: «Вильямс», 2008. — ISBN 978-5-8459-1349-4.