Пучок (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пучки используются для установления отношений между локальными и глобальными данными. По этой причине они играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий. Грубо говоря, пучок F на топологическом пространстве X задаётся данными двух типов с двумя дополнительными свойствами.

Первая часть данных заключена в отображении, сопоставляющем каждому открытому подмножеству U пространства X некоего (абстрактного) множества F(U). Можно требовать вдобавок, чтобы на этом множестве была бы задана определённая структура, но пока что ограничимся лишь тем, что это просто множество.

Вторая часть данных состоит в том, что для каждой пары открытых множеств V, U, первое из которых вложено во второе \scriptstyle (V\subset U), зафиксировано некоторое отображение \rho_{VU}: F(U) \to F(V), называемое отображением ограничения. (Оно действует аналогично операции ограничения на область V функций, заданных на U.)

Требуется также, чтобы эти данные обладали следующими двумя свойствами:

  • Аксиома нормализации: F(\varnothing) — множество из единственного элемента.
  • Аксиома склейки: если задана согласованная система элементов x_i\in F(U_i) (согласованность означает, что элементы x_i и x_j имеют одно и то же ограничение на область U_i \cap U_j), то они однозначно определяют элемент x из F(U) (где U — объединение всех U_i), ограничениями которого на соответствующую область все они являются.

Элементарные примеры[править | править вики-текст]

Пучки функций[править | править вики-текст]

Основной пример даёт пучок непрерывных функций на топологическом пространстве X. Ограничение непрерывной функции на открытое подмножество есть непрерывная функция на этом подмножестве, и функция, заданная частично на открытых подмножествах, может быть восстановлена на их объединении.

Точнее, для каждого открытого подмножества U пространства X обозначим F(U) множество всех непрерывных вещественнозначных функций f: X \to \mathbb{R}. Имея открытое множество V, содержащееся в U, и функцию f из F(U), мы можем сузить область определения функции f до множества V и получить функцию f|_V. Ограничение f|_V есть непрерывная функция на V, следовательно, оно является элементом множества F(V). Таким образом, определено отображение ограничения \rho_{VU}: F(U)\to F(V).

Аксиома нормализации, очевидно, выполнена, так как есть только одна непрерывная функция из пустого множества в R — пустая функция. Чтобы показать, что справедлива и аксиома склейки, предположим, что задана согласованная система непрерывных функций f_i: U_i \to \mathbb{R} , i \in I. Это означает, что ограничения функций f_i и f_j на множестве U_i\cap U_j должны совпадать. Определим теперь функцию f: U \to \mathbb{R} следующим образом: так как U — объединение всех U_i, каждая точка x из U покрыта множеством U_i для некоторого i. Определим значение функции f в точке x равным f_i(x). Это определение корректно: если x лежит также и в U_j, то по условию согласованности f_i(x) = f_j(x), поэтому всё равно, какой из этих функций пользоваться для определения f(x). При этом функция f непрерывна в точке x, так как в её окрестности U_i совпадает с непрерывной функцией f_i(x). В итоге функция f непрерывна в каждой точке из U, то есть непрерывна в U. Более того, f — это единственная непрерывная функция, ограничение которой на области U_i совпадает с f_i, так как функция полностью определяется своими значениями в точках. Как следствие, существует одна и только одна функция, склеенная из функций f_i, а именно f.

На самом деле, полученный пучок есть не просто пучок множеств. Так как непрерывные функции можно поточечно складывать и получать снова непрерывные функции, этот пучок также есть пучок абелевых групп. Так как их также можно перемножать, этот пучок есть пучок коммутативных колец. Так как непрерывные функции на множестве образуют векторное пространство над R, то этот пучок — пучок алгебр над R.

Пучки решений дифференциальных уравнений[править | править вики-текст]

Для простоты будем работать с пространством R. Допустим, на R задано дифференциальное уравнение F(x, y, y', y'', ... ) = 0 и ищутся гладкие решения, то есть гладкие функции y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, удовлетворяющие этому уравнению. В предыдущем примере было описано, как строится пучок непрерывных функций на R. Подобная конструкция дословно с заменой слов «непрерывная» на слова «гладкая» применима для построения пучка гладких функций на R. Обозначим этот пучок через G. G(U) — это множество гладких функций U \to \mathbb{R}. Некоторые элементы G(U) являются решениями уравнения F = 0. Оказывается, эти решения сами по себе образуют пучок.

Для каждого открытого множества U, пусть H(U) — множество гладких функций y: U\to \mathbb{R} таких, что F(x, y, y', y'', \dots) = 0. Отображения ограничения — всё еще сужения функций, так же, как в G. H(\varnothing) всё также состоит из пустой функции. Чтобы проверить аксиому склейки, пусть \{U_i\}, i \in I — набор открытых множеств, и U — их объединение. Пусть f_i — элементы H(U_i), согласованные на пересечениях, то есть f_i|_{U_i\cap U_j} = f_j|_{U_i\cap U_j}. Определим f так же, как и раньше: f(x) = f_i(x) всегда, когда f_i(x) определено. Чтобы убедиться, что f всё ещё решение дифференциального уравнения, заметим, что f удовлетворяет ему в каждом из множеств U_i, так как там она совпадает с функцией f_i(x). Следовательно, f есть решение уравнения F = 0. Чтобы проверить, что f единственна, заметим, как и раньше, что f определяется своими значениями в точках, и эти значения должны совпадать со значениями f_i(x) на U_i. Итак, f — единственная склейка функций \{f_i\}, поэтому H есть пучок.

Заметим, что H(U) содержится в G(U) при любом U. Кроме того, если f — элемент H(U), а V — открытое множество, содержащееся в U, тогда результат применения отображения ограничения на V функции f в пучке H будет тот же, что и в пучке G. В таких случаях говорят, что пучок H является подпучком пучка G.

В зависимости от дифференциального уравнения F может случиться так, что при сложении двух решений этого уравнения снова получается его решение — например, если F линейно. В этом случае H будет пучком групп с групповой операцией, заданной поточечным сложением функций. Однако в общем случае H — всего лишь пучок множеств, а не пучок групп или колец.

Пучки векторных полей[править | править вики-текст]

Пусть M — гладкое многообразие. Векторное поле V на M сопоставляет каждой точке x на M вектор V(x) из T_xM — касательного пространства к M в точке x. Требуется, чтобы V(x) гладко зависело от x. Определим пучок \mathcal{T}, который будет нести информацию о векторных полях на M. Для каждого открытого множества U, рассмотрим U как гладкое многообразие и пусть \mathcal{T}(U) — множество всех (гладких) векторных полей на U. Другими словами, \mathcal{T}(U) есть множество функций V, которые точке x на U сопоставляют вектор V(x) из T_xU, гладко от неё зависящий. Поскольку U открыто, T_xU = T_xM. Определим отображения ограничения как сужения векторных полей.

Чтобы показать, что \mathcal{T} есть пучок, сначала заметим, что \mathcal{T}(\varnothing) состоит из одной только пустой функции, так как в пустом множестве нет точек. Проверим теперь аксиому склейки. Пусть \{U_i\}, i \in I — набор открытых множеств, и U — их объединение. На каждом открытом множестве U_i, выберем векторное поле V_i, и предположим, что эти поля согласованы на пересечениях, то есть V_i|_{U_i\cap U_j} = V_j|_{U_i\cap U_j}. Теперь определим новое векторное поле V на U следующим образом: для всякого x из U, выберем U_i, содержащее x. Определим V(x) как V_i(x). Поскольку поля V_i согласованы на пересечениях, V корректно определено. Более того, V(x) есть касательный вектор из T_xM, гладко зависящий от x, так как V_i(x) гладко зависит от x и «гладкая зависимость» — локальное свойство. Наконец, V есть единственно возможная склейка полей V_i, так как V однозначно определяется своими значениями в каждой точке x, а эти значения должны совпадать со значениями поля V_i на U_i.

Можно дать другое определение пучка \mathcal{T}, использующее касательное расслоение TM многообразия M. Рассмотрим естественную проекцию p : TM \to M, которая паре (x, v), где x точка на M , а v — вектор из T_xM, сопоставляет точку x. Векторное поле на открытом множестве U — это то же, что сечение проекции p, то есть, гладкое отображение s : U \to TM такое, что p\circ s = {\rm id}_U, где {\rm id}_U — тождественное отображение на U. Другими словами, сечение s сопоставляет точке x пару (x, v) гладким образом. Отображение s не может сопоставить точке x пару (y, v) с y \ne x, из-за условия p\circ s = {\rm id}_U. Это позволяет представить касательный пучок \mathcal{T} как пучок сечений касательного расслоения. Другими словами, при любом U \mathcal{T}(U) есть множество всех сечений проекции p, и отображения ограничения — обычное сужение функций. По аналогии можно построить пучок сечений любого непрерывного отображения топологических пространств.

Пучок \mathcal{T} — это всегда пучок групп с поточечными операциями сложения векторов. Однако, \mathcal{T} обычно не есть пучок колец, так как на векторах не определена естественным образом операция умножения.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Первый шаг в определении понятия пучка состоит в определении понятия предпучка, которое охватывает пространства данных, ассоциированные с каждым открытым подмножеством топологического пространства, и операции ограничения этих данных с более крупных подмножеств на более мелкие. На втором шаге накладываются дополнительные ограничения — требования выполнимости аксиом нормализации и склейки. Предпучок, удовлетворяющий этим требованиям, и есть пучок.

Определение предпучка[править | править вики-текст]

Пусть X — топологическое пространство, а C — некоторая категория. Над пространством X задан предпучок F со значениями в категории C, если:

  • Каждому открытому подмножеству U в X сопоставлен F(U) — объект категории C.
  • Каждому включению V\subset U открытых множеств сопоставлен морфизм объектов категории C:
\rho_{VU}\colon F(U) \to F(V).

Эти морфизмы называются морфизмами ограничения. Совокупность этих морфизмов должна удовлетворять следующим условиям:

  • Для любого открытого множества U \,\rho_{UU} — тождественный морфизм объекта F(U).
  • Для каждого двойного включения W\subset V\subset U справедливо равенство
\rho_{WV}\circ \rho_{VU} = \rho_{WU}

Последнее условие означает, что должно быть безразлично, ограничиваем мы данные с области U на область W непосредственно, или в два этапа — с предварительным ограничением на V, а с неё уже — на W.

Предпучки в теории категорий[править | править вики-текст]

Весьма компактным определение предпучка получается в терминах теории категорий. Сначала определяется категория O(X) открытых множеств пространства X, объектами которой являются открытые подмножества X, а множество морфизмов объекта V этой категории в объект U в случае, если V — подмножество U, состоит из единственного морфизма — отображения включения V в U, и пусто в противном случае. Тогда предпучок над пространством X со значениями в категории C — это всякий контравариантный функтор F из категории O(X) в категорию C. Такое определение предпучка допускает дальнейшее обобщение, когда рассматриваются функторы в C не обязательно из категории вида O(X) (см. предпучок (теория категорий)).

Если над пространством X задан предпучок F со значениями в категории C, и U — открытое подмножество X, объект F(U) называется пространством сечений предпучка F над множеством U. Если C — конкретная категория, тогда каждый элемент множества F(U) называется сечением пучка F над U, по аналогии с сечениями расслоённых пространств и этального пространства пучка (см. ниже). F(U) также часто обозначается как \Gamma(U,F), особенно в контексте теории когомологий пучков, в которой область U фиксируется, а пучок F — переменный.

Определение пучка[править | править вики-текст]

Пучок — это предпучок, в котором выполнены 2 аксиомы.

Разумеется, чтобы аксиома имела смысл, нужно, чтобы категория C обладала терминальным объектом. На практике обычно это так и есть.

Однако более важная аксиома — аксиома склейки. Напомним, что в примерах, разобранных выше, эта аксиома требовала, чтобы набор данных (сечений пучка), согласованных на пересечениях их областей определения, всегда допускал (притом однозначно) их склейку — сечение над объединением открытых множеств, над которыми это сечение задано как бы частично. Для простоты сформулируем аксиому склейки в случае, когда C — конкретная категория. Общий случай смотри в статье «аксиома склейки».

Пусть U_i — набор открытых множеств пространства X, и U — их объединение. Пусть над каждым из них задано сечение s_i\in F(U_i) (пред)пучка F. Набор этих сечений называется согласованным (англ. compatible), если для всяких i и j

\rho_{U_i\cap U_j, U_i}(s_i) = \rho_{U_i\cap U_j, U_j}(s_j).

Аксиома склейки для F выполнена, если

  • всякий набор согласованных сечений s_i определяет единственное сечение s\in F(U), такое что s_i = \rho_{U_i,U}s для каждого i.

Сечение s называется склейкой (англ. gluing, concatenation, collation) сечений s_i, так как оно как бы склеено из более мелких сечений.

В примерах, данных выше, сечениям пучков соответствовали некоторые функции. В таких случаях аксиома склейки исходит из функций f_i, совпадающих на пересечениях U_i\cap U_j, и утверждает существование единственной функции f, одновременно продолжающей все функции f_i на множество U, — как раз то, что было показано в тех примерах для доказательства того, что в них действительно предъявлен пучок.

Часто аксиому склейки подразделяют на две части — на аксиому существования и аксиому единственности. Предпучки, удовлетворяющие только аксиоме единственности, называются отделимыми (англ. separated) предпучками.

Примеры[править | править вики-текст]

Так как пучки в точности заключают в себе данные, необходимые для перехода от ситуаций локальных к глобальным, существует множество примеров пучков, возникающих в математике. Вот несколько дополнительных примеров пучков:

  • Всякое непрерывное отображение топологических пространств задаёт пучок множеств. Пусть f : YX — непрерывное отображение. Определим пучок \Gamma(Y/X), полагая \Gamma(Y/X)(U) равным множеству всех сечений отображения f|_U: U \to Y, то есть, \Gamma(Y/X)(U) — это множество всех отображений s : UY, таких что fs = id_U. Морфизмы ограничения задаются обычным сужением отображения на подмножества области определения. Этот пучок называется пучком сечений отображения f, он особенно важен, когда f есть проекция расслоенного пространства на пространство своей базы. Следует отметить, что в случае, когда образ f не содержит U целиком, множество \Gamma(Y/X)(U) пусто. В качестве конкретного примера можно взять \scriptstyle X=\C \backslash 0, \scriptstyle Y=\C и f(z) = \exp(z). Тогда \Gamma(Y/X)(U) есть множество ветвей логарифма над множеством U.
  • Пусть M — Ck-многообразие (многообразие гладкости k). Для каждого открытого подмножества U в M определим \mathcal{O}_M(U) как множество всех Ck-гладких функций UR. Морфизмы ограничений — обычные ограничения функций. Тогда \mathcal{O}_M есть пучок колец со сложением и умножением, заданными поточечным сложением и умножением функций. Этот пучок называется структурным пучком многообразия M.
  • Для каждого jk, над M определён также пучок \mathcal{O}_{M,j}, называемый пучком j-раз непрерывно дифференцируемых функций на M. \mathcal{O}_{M,j} является подпучком пучка \mathcal{O}_M, который на открытом множестве U, задаёт множество всех Cj-функций на U.
  • Над M определён пучок \mathcal{O}_X^\times функций без нулей. То есть, для каждого U, \mathcal{O}_X^\times(U) есть множество всех вещественнозначных функций на U, не обращающихся в ноль. Это — пучок групп с групповой операцией, задаваемой поточечным умножением функций.
  • M имеет также кокасательный пучок ΩM. На каждом открытом множестве U, ΩM(U) есть множество дифференциальных форм степени 1 на U. Морфизмы ограничений — обычные ограничения дифференциальных форм. Аналогичным образом для всякого p > 0 определяется пучок Ωp дифференциальных p-форм.
  • Если M гладкое многообразие, для каждого открытого множества U, множество \mathcal{DB}(U) есть множество всех вещественнозначных распределений (обобщённых функций) на U. Ограничения задаются ограничением функций. Тогда \mathcal{DB} становится пучком обобщённых функций.
  • Пусть X — комплексное многообразие и U — открытое подмножество X, определим \mathcal{D}_X(U) как множество голоморфных дифференциальных операторов конечного порядка на U. Задавая ограничение как обычное ограничение функций, получаем пучок \mathcal{D}_X, называемый пучком голоморфных дифференциальных операторов.
  • Фиксируем точку x из X и какой-нибудь объект S категории C. Пучком-небоскрёбом над x со слоем S называется пучок Sx, определённый следующим образом: Если U — открытое множество, содержащее x, тогда Sx(U) = S, в противном случае Sx(U) — терминальный объект категории C. Отображения ограничения, соответственно, либо тождественный морфизм объекта S, если оба открытых множества содержат x, либо тот самый единственный морфизм S в терминальный объект категории C.

Некоторые математические структуры определяются как пространства с фиксированным пучком на нём. Например, пространство с пучком колец над ним (на нём) называется окольцованным пространством. Если все слои (см. ниже) пучка — локальные кольца, тогда это локально окольцованное пространство. Если сечения пучка локальных колец локально представимы как элементы некоторого коммутативного кольца, получаем схему.

Вот 2 примера предпучков, которые не являются пучками:

  • Пусть \scriptstyle X — двухточечное топологическое пространство \scriptstyle \{ x,y \} с дискретной топологией. Определим предпучок F так: \scriptstyle F(\varnothing) = \{ \varnothing \}, \scriptstyle F(\{x\}) = \R, \scriptstyle F(\{y\}) = \R, \scriptstyle F(\{x,y\}) = \R\times \R \times \R. Отображение ограничения \scriptstyle F(\{x,y\}) \to F(\{x\}) есть проекция из \scriptstyle \R \times \R \times \R на первую компоненту, а отображение ограничения \scriptstyle F(\{x,y\}) \to F(\{y\}) — проекция \scriptstyle \R \times \R \times \R на вторую компоненту. \scriptstyle F — предпучок, не являющийся отделимым: всякое глобальное сечение задаётся тремя числами, однако сечения над (открытыми множествами) \scriptstyle \{x\} и \scriptstyle \{y\} определяют только два числа из них. Хотя можно склеить любые два сечения, заданные над точками \scriptstyle \{x\} и \scriptstyle \{y\}, нет единственности такой склейки.
  • Пусть X — комплексная плоскость, и для её открытых подмножеств U положим F(U) — множество ограниченных голоморфных функций на U с обычными отображениями ограничения. Это не будет пучок, так как склейка в данном случае не всегда возможна. Например, пусть Ur есть открытый диск |z| < r. Функция f(z) = z ограничена на каждом диске Ur. Следовательно, получаем согласованные сечения sr на Ur (которые есть сужения функции f(z) на Ur). Однако они не допускают склейки, так как функция f не является ограниченной на всей комплексной плоскости. Следовательно F есть предпучок, но не пучок. Отметим, что F является отделимым, так как он есть подпучок пучка голоморфных функций на X.

Морфизмы пучков[править | править вики-текст]

Поскольку пучки содержат данные, соотнесённые каждому открытому подмножеству пространства X, морфизм пучков определяется как набор отображений, по одному для каждого открытого множества, удовлетворяющий некоторым условиям согласованности.

Пучки — это предпучки специального вида, подобно тому, как абелевы группы являются специальным случаем групп (пучки образуют полную подкатегорию в категории предпучков). Другими словами, морфизм пучков это то же, что морфизм в категории предпучков, но между объектами, которые являются пучками; аксиома склейки в определении морфизма никак не задействована.

Морфизмы пучков над одним пространством[править | править вики-текст]

В этом разделе все пучки определены над пространством X и принимают значения в фиксированной категории C (когда речь пойдёт о ядре и коядре морфизмов, предполагается, что C — абелева категория).

Пусть \mathcal{F} и \mathcal{G} — два таких пучка. Морфизм C-пучков на X \varphi\colon \mathcal{G} \to \mathcal{F} сопоставляет каждому открытому множеству U пространства X морфизм \varphi_U\colon\mathcal{G}(U) \to \mathcal{F}(U), так что все эти морфизмы согласованы друг с другом и отображениями ограничения в обоих пучках. Другими словами, для каждого открытого подмножества U и открытого множества V имеет место коммутативная диаграмма:

SheafMorphism-01.png

Это условие согласованности означает, что каждому сечению s пучка F над открытым множеством U сопоставлено некоторое сечение \varphi_U(s) над U пучка G, и их ограничения на открытое подмножество V множества U связаны морфизмом \varphi_V. (Ограничение на V \varphi_U-образа сечения s совпадает с \varphi_V-образом его ограничения на V.)

Простой факт, что морфизм пучков является изоморфизмом (то есть имеет обратный морфизм) в точности тогда, когда все морфизмы \varphi_U являются изоморфизмами (обратимы). То же верно для мономорфизмов и не верно для эпиморфизмов. Это связано с тем, что ядро морфизма пучков всегда является пучком, а образ и коядро могут и не быть (но всегда будут отделимыми предпучками). Смотри статью «Когомологии пучков».

Морфизмы пучков над разными пространствами[править | править вики-текст]

Далее пучки принимают значения в фиксированной категории C, но могут быть определены над разными пространствами.

Пусть X и Y — топологические пространства с заданными на них пучками OX и OY соответственно. Морфизм пары (X, OX) в (Y, OY) задаётся с помощью следующих данных:

  • Непрерывное отображение f : XY
  • семейство C-морфизмов φV : OY(V) → OX(f −1(V)) для каждого открытого подмножества V пространства Y, которые коммутируют с отображениями ограничения. То есть, если V1V2 — два открытых подмножества Y, следующая диаграмма должна быть коммутативной (вертикальные стрелки — морфизмы ограничения на подмножество):
LocallyRingedSpace-01.png

Это определение годится и для определения морфизма предпучков над разными пространствами.

Пучок, ассоциированный с предпучком[править | править вики-текст]

Часто бывает полезно данные, которые образуют предпучок, представить с помощью пучка. Оказывается, существует очень удобная процедура, позволяющая это сделать. Возьмём предпучок F и построим новый пучок aF, называемый пучком, ассоциированным с предпучком F. a называется функтором ассоциированного пучка (англ. sheaving functor, sheafification functor, associated sheaf functor). Существует естественный морфизм предпучков i : F \to aF со свойством универсальности, состоящем в том, что для любого пучка G и морфизма предпучков f : F \to G, существует единственный морфизм пучков \tilde f : aF \to G такой, что f = \tilde f\cdot i. На самом деле a есть сопряжённый функтор к функтору вложения категории пучков в категорию предпучков, а i есть единица сопряжения.

Прямые и обратные образы пучков[править | править вики-текст]

Ростки сечений пучка[править | править вики-текст]

Слой \mathcal{F}_x пучка \mathcal{F} позволяет описать свойства пучка «рядом» с точкой xX. Здесь «рядом» означает, что мы смотрим на как можно меньшую окрестность точки. Конечно, никакая окрестность сама по себе не является достаточно малой, но мы можем рассмотреть их предел (или, точнее, копредел).

Слой над точкой x определяется как

\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U),

прямой предел всех окрестностей точки x. Другими словами, элемент слоя является сечением пучка в некоторой окрестности x, причем два таких сенчения соответствуют одному элементу пучка, если они имеют одинаковое ограничение на некоторую окрестность точки x.

Естественный морфизм F(U) → Fx переводит сечение s в окрестности F(U) в его росток. Это обобщает обычное определение ростка.

Этальное пространство пучка[править | править вики-текст]

Когомологии пучков[править | править вики-текст]

История теории пучков[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Bredon, Glen E. (1997) Sheaf theory — vol. 170 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1481706, ISBN 978-0-387-94905-5 (oriented towards conventional topological applications) (англ.)
  • Godement, Roger (1973) Topologie algébrique et théorie des faisceaux — Paris: Hermann, MR0345092 (фр.)
  • Grothendieck, Alexander (1957), "«Sur quelques points d'algèbre homologique»", The Tohoku Mathematical Journal. Second Series Т. 9: 119–221, ISSN 0040-8735 
  • Hirzebruch, Friedrich (1995) Topological methods in algebraic geometry — Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1335917, ISBN 978-3-540-58663-0 (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power) (англ.)
  • Kashiwara, Masaki & Schapira, Pierre (1990) Sheaves on manifolds — vol. 292, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1074006, ISBN 978-3-540-51861-7 (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces) (англ.)
  • Mac Lane, Saunders & Moerdijk, Ieke (1994) Sheaves in geometry and logic — Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1300636, ISBN 978-0-387-97710-2 (category theory and toposes emphasised) (англ.)
  • Serre, Jean-Pierre (1955), "«Faisceaux algébriques cohérents»", Annals of Mathematics (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2) . — Т. 61 (2): 197–278, ISSN 0003-486X, doi:10.2307/1969915, <http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf> 
  • Swan, R. G. (1964) The Theory of Sheaves — University of Chicago Press (concise lecture notes) (англ.)
  • Tennison, B. R. (1975) Sheaf theory — Cambridge University Press, MR0404390(pedagogic treatment) (англ.)