Пфаффиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера 2n\times 2n, и в этом случае его степень равна n.

Примеры[править | править вики-текст]

\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & a \\ -a & 0  \end{bmatrix}=a.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda_n & 0\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть \Pi обозначает множество всех разбиений множества \{1, 2,\dots, 2n\} на неупорядоченные пары (всего существует (2n-1)!! таких разбиений). Разбиение \alpha\in \Pi может быть записано

\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}

где i_k<j_k и i_1 < i_2 < \cdots < i_n. Пусть

\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}

обозначает соответствующую перестановку, а \mbox{sgn}(\alpha)знак перестановки \pi. Нетрудно видеть, что \mbox{sgn}(\alpha) не зависит от выбора \pi.

Пусть A = \{a_{ij}\} обозначает 2n\times 2n кососимметричную матрицу. Для разбиения \alpha определим

 A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.

Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как

\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.

Пфаффиан кососимметричной матрицы размера n\times n для нечётного n равен нулю по определению.

Альтернативное определение[править | править вики-текст]

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A = \{a_{ij}\} рассмотрим бивектор:

\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j.

где \{e_1, e_2, \dots , e_{2n}\} есть стандартный базис в \mathbb R^{2n}. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:

\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n} = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\dots\wedge e_{2n},

где \omega^{\wedge n} обозначает внешнее произведение n копий \omega.

Свойства[править | править вики-текст]

Для 2n\times 2n кососимметричной матрицы A и для произвольной 2n\times 2n матрицы B:

  • \mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)
  • \mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)
  • \mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)
  • Для блок-диагональной матрицы
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}=\mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2).
  • Для произвольной n\times n матрицы M:
\mbox{Pf}\begin{bmatrix}  0 & M \\ -M^T & 0  \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.

История[править | править вики-текст]

Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]