Пфаффово уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида \, \omega=0, где \, \omegaдифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия \, M^n размерности \,n. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии \, M^n введены (локальные) координаты x=(x_1, \ldots, x_n), то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

a_1(x)\,dx_1+ a_2(x)\,dx_2 + \cdots+ a_n(x)\,dx_n = 0,

где \,a_i(x) — скалярные функции, заданные на \, M^n. Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0, \quad x,y \in \R.

Пфаффова система[править | править вики-текст]

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида \, \omega_1=0, \omega_2=0, \ldots, \omega_m=0, где \, \omega_i — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия \, M^n размерности \,n. В координатах пфаффова система имеет вид


\left\{
\begin{matrix}
a_{11}(x)\,dx_1+ a_{12}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{1n}(x)\,dx_n &= 0 \\
a_{21}(x)\,dx_1+ a_{22}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{2n}(x)\,dx_n &= 0 \\
\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots  \\
\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots  \\
a_{m1}(x)\,dx_1+ a_{m2}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{mn}(x)\,dx_n &= 0. \\
\end{matrix}
\right. \qquad \qquad (*)

Рангом пфаффовой системы в точке x=(x_1, \ldots, x_n) называется число \, r(x), равное рангу матрицы \, (a_{ij}(x)). Обычно бывает \, r(x)<n.

Пфаффова система (*) задает в касательном пространстве \, T_x M^n векторное подпространство размерности \, n-r(x), которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на \,M^n называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при \, r(x) \equiv n-1 распределение является полем направлений на \,M^n, при \, r(x) \equiv n-2 распределение является полем двумерных плоскостей, а при \, r(x) \equiv 1 распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат x_1, \ldots, x_n одну (например, \,x_n) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на \,dx_n, получаем систему ОДУ первого порядка:


\left\{
\begin{matrix}
a_{11}(x)\,x_1'+ a_{12}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{1n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{1n}(x) &=0 \\
a_{21}(x)\,x_1'+ a_{22}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{2n}(x) &=0 \\
\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots  \\
\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots  \\
a_{m1}(x)\,x_1'+ a_{m2}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{mn}(x) &=0, \\
\end{matrix}
\right. \qquad \qquad (**)

где \,x_i'=dx_i/dx_n.

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат (dx_1, \ldots, dx_n) к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию \, M^n.

Интегрирование пфаффовых систем[править | править вики-текст]

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей 1,2, \ldots, n-1 в многообразии \,M^n, на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность \,S в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т.е. касательное пространство к \,S содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга \,m<n называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия \,M^n проходит интегральная поверхность \,S_{n-m} максимально возможной размерности \,n-m.

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга \,m<n с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии \,M^n приводится к каноническому виду

dx_1=0, \ dx_2=0, \, \ldots, \, dx_m=0.

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_m\wedge d\omega_i=0 \quad \ i=1,\ldots,m,  
\qquad \qquad (***)

где \,d\omega_i означает внешний дифференциал 1-формы и \,\wedge означает внешнее произведение форм.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пфаффово уравнение \,\omega = dx_1+ dx_2 + dx_3 = 0 вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости \,x_1+ x_2 + x_3 = c в трёхмерном пространстве. С помощью замены \,\tilde x_1 = x_1+ x_2 + x_3 это уравнение приводится к каноническому виду \,d \tilde x_1 = 0. Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как \,d\omega = 0.
  • Пфаффово уравнение \omega = x_3\,dx_1+ dx_2 = 0 не является вполне интегрируемым. В этом случае d\omega = dx_3 \wedge dx_1 и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:
\omega \wedge d\omega = (x_3\,dx_1+ dx_2) \wedge (dx_3 \wedge dx_1) = 
dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \neq 0.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
  • Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.