Равенство классов P и NP
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В теории алгоритмов вопрос о равенстве классов сложности P и NP является одной из центральных открытых проблем уже более трех десятилетий. Если на него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически возможно решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас.
Содержание |
[править] Классы P и NP
В конечном счете проблема P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти (за полиномиальное время и используя полиномиальную память)?
Например, верно ли, что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, ...} есть такие, что их сумма равна 0 (задача о суммах подмножеств)? Ответ да, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0 легко проверяется несколькими сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификат). Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Кажется, что подобрать числа сложнее (не доказано).
Ответ на вопрос о равенстве классов P и NP определил бы, действительно ли задачу легче проверить, чем решить (P≠NP). Или решить столь же просто, что и проверить (P=NP).
Это применимо ко всем подобным задачам, а не только к задаче о суммах подмножеств. Также это применимо к задачам, ответ на которые сложнее, чем ДА или НЕТ.
[править] Содержание проблемы
Отношения между классами P и NP рассматриваются в теории вычислительной сложности (разделе теории вычислений), изучающей ресурсы, необходимые для решения некоторой задачи. Наиболее общие ресурсы — это время (сколько нужно сделать шагов) и память (сколько памяти потребуется для решения задачи).
[править] История
Из определения классов P и NP сразу вытекает следствие: 
. Однако до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, т. е. существует ли алгоритм, лежащий в NP, но не лежащий в P. Если такого алгоритма не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромную выгоду с вычислительной точки зрения. Сейчас самые сложные NP-задачи (так называемые NP-полные задачи) можно решить за экспоненциальное время, что почти всегда неприемлемо.
Впервые вопрос о равенстве классов был поставлен независимо Куком и Левиным в 1971 г. В настоящее время большинство математиков считают, что эти классы не равны. Согласно опросу, проведённому в 2002 г. среди 100 учёных, 61 человек считает, что ответ — «не равны», 9 — «равны», 22 затруднились ответить и 8 считают, что гипотеза не выводима из текущей системы аксиом и, таким образом, не может быть доказана или опровергнута.
В настоящий момент проблема равенства классов P и NP является одной из семи проблем, за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн. долларов США.
[править] См. также
[править] Ссылки
- С. Кук Официальное описание проблемы(англ.)
- С. Николенко «P=?NP». Компьютерра, 2006.
- Н. П. Варновский. Проблема P =? NP, классы сложностей и криптография. 2005.
- А. А. Разборов P ?= NP или проблема перебора: взгляд из 90-х.
- Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 528. — ISBN 0-201-44124-1
- Gerhard J. Woeginger. The P-versus-NP page.(англ.) Список ссылок на предложенные «решения» данной проблемы. Некоторые из них утверждают равенство P и NP, некоторые — обратное.
 |
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
