Равнобедренный треугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя — основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
  • Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии..

Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, h — высота равнобедренного треугольника, α и β — соотвещим образом:

Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

  • r=\frac b2 \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}
  • r=\frac{bh}{b+\sqrt{4h^2+b^2}}
  • r=\frac{h}{1+\frac{a}{\sqrt{a^2-h^2}}}
  • r=\frac b2 \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right )
  • r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname{tg} \left (\frac{\alpha}{2} \right )

Углы могут быть выражены следующими способами:

  •  \alpha = \frac {\pi - \beta} 2;
  •  \beta = \pi - 2\alpha;
  •  \alpha = \arcsin \frac a {2R}, \beta = \arcsin \frac b {2R} (теорема синусов).
  • Угол может также найден без {\pi} и  R . Треугольник делится медианой пополам, и в полученных 2-х равных прямоугольных треугольниках вычисляется углы (основание  {b} берётся половинной длины исходного равнобедренного треугольника):

y = \cos\alpha =\frac {b}{c}, \arccos y = x

Периметр равнобедренного треугольника может быть вычислен любым из следующих способов:

Площадь треугольника может быть вычислена одним из следующих способов:

 S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac {b^2}{4 \tan \frac \beta 2};
 S = \frac 1 2 b \sqrt {\left( a + \frac 1 2 b \right) \left( a - \frac 1 2 b \right)} .
  S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac {b^1}{2 \sin \frac \beta 1};