Равновесие Нэша

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Джон Форбс Нэш, ноябрь 2006

Равновесие Нэша (англ. Nash equilibrium) названо в честь Джона Форбса Нэша — так в теории игр называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша[1].

Концепция равновесия Нэша (РН) впервые использована не Нэшем; Антуан Огюст Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации по некооперативным играм в 1950-м году, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Формальное определение[править | править вики-текст]

Допустим,  \ (S, H)игра n лиц в нормальной форме, где  \ S — набор чистых стратегий, а  \ H — набор выигрышей. Когда каждый игрок i \in \{1, ..., n\} выбирает стратегию x_i \in S в профиле стратегий  \ x = (x_1, ..., x_n), игрок  \ i получает выигрыш  \ H_i(x). Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком  \ i, но и от чужих стратегий. Профиль стратегий x^* \in S является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с x_i^* на x_i не выгодно ни одному игроку  \ i, то есть для любого  \ i

H_i(x^*) \geq H_i(x_i, x^*_{-i}).

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики - М.: МГУ, 2005, 272 с.
  2. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
  3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
  4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.