Равномерная ограниченность

Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций $f_\alpha:X\to\R$, где $\alpha\in A$, $A$ — некоторое множество индексов, $X$ — произвольное множество, означающее, что существует такая постоянная $C>0$, что для всех $\alpha\in A$ и всех $x\in X$ выполняется неравенство

$|f_\alpha(x)|\leqslant C.$

Вариации и обобщения

Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений $f_\alpha:X\to Y$, где $Y$ — полунормированное пространство с полунормой $\Vert*\Vert$, называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная $C > 0$, что для всех $\alpha\in A$ и всех $x\in X$ выполняется неравенство

$\Vert f_\alpha(x)\Vert\leqslant C$

Равномерная ограниченность сверху (снизу) означает что существует такая постоянная $C\in\R$, что для всех а $\alpha\in A$ и всех $x\in X$ выполняется неравенство $f_\alpha(x)\leqslant C$ (соответственно $f_\alpha(x)\geqslant C$)

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений $f_\alpha:X\to Y$ в упорядоченные в том или ином смысле множества.

См. также

• Принцип равномерной ограниченности (англ.) — теорема Банаха-Штейнгауза