Равномерная ограниченность

Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций $f_{\alpha }:X\to \mathbb {R}$, где $\alpha \in A$, $A$ — некоторое множество индексов, $X$ — произвольное множество, означающее, что все функции семейства ограничены одной константой $C$.

$\exists C>0\;\forall \alpha \in A\;\forall x\in X\;|f_{\alpha }(x)|\leqslant C.$

Вариации и обобщения

Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений $f_{\alpha }:X\to Y$, где $Y$ — полунормированное пространство с полунормой $\Vert *\Vert$, называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная $C>0$, что для всех $\alpha \in A$ и всех $x\in X$ выполняется неравенство

$\Vert f_{\alpha }(x)\Vert \leqslant C$

Равномерная ограниченность сверху (снизу) означает что существует такая постоянная $C\in \mathbb {R}$, что для всех а $\alpha \in A$ и всех $x\in X$ выполняется неравенство $f_{\alpha }(x)\leqslant C$ (соответственно $f_{\alpha }(x)\geqslant C$)

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений $f_{\alpha }:X\to Y$ в упорядоченные в том или ином смысле множества.

См. также

• Принцип равномерной ограниченности — теорема Банаха-Штейнгауза