Равномерная сходимость

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности $f_n:X\to Y$, где X — произвольное множество, Y = (Y,d) — метрическое пространство, $n = 1, 2,\dots$ сходится к функции (отображению) $f:X\to Y$, означающее, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер N_ε, что для всех номеров n > N_ε и всех точек $x\in X$ выполняется неравенство

$\left|f_n(x) - f(x)\right| < \epsilon$

Обычно обозначается $f_n\rightrightarrows f$.

Это условие равносильно тому, что

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} \left|f_n(x) - f(x)\right|=0.$

Пример

• Последовательность f_n(x) = xⁿ, $n=1,2,\dots$ равномерно сходится на любом отрезке [0,a], 0 < a < 1 и не сходится равномерно на отрезке [0,1].

Свойства

• Если Y — линейное нормированное пространство и последовательности отображений $f_n:X\to Y$ и $g_n:X\to Y$, $n=1,2,\dots$ равномерно сходятся на множестве X, то последовательности {f_n + g_n} также как и {αf_n} при любых $\alpha\in \R$ также равномерно сходятся на X.

• Для вещественнозначных функций (или, более обще, если Y — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений $f_n:X\to \R$, равномерно сходится на множестве X и $g:X\to \R$ ограниченное отображение, то последовательность {gf_n} также равномерно сходится на X.

• Если X — топологическое пространство, Y — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке $x_0\in X$ отображений $f_n:X\to Y$ равномерно сходится на множестве X к отображению $f:X\to Y$, то это отображение также непрерывно в точке x₀.

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций $f_n:[a,b]\to \R$ равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции $f : [a,b]\to\R$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого $x\in [a,b]$ имеет место равенство
      $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^x f_n(t)dt=\int\limits_a^x f(t)dt$
  и сходимость последовательности функций
      $x\mapsto \int\limits_a^x f_n(t)dt$
  на отрезке [a,b] к функции
      $x\mapsto \int\limits_a^x f(t)dt$
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций $f_n : [a,b] \to\R$, сходится в некоторой точке x₀, a последовательность их производных равномерно сходится на [a,b], то последовательность {f_n} также равномерно сходится на [a,b], её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
• Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
• Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.