Равномерная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности f_n:X\to Y, где X — произвольное множество, Y=(Y,d)метрическое пространство, n = 1, 2,\dots сходится к функции (отображению) f:X\to Y, означающее, что для любого \varepsilon > 0 существует такой номер N_\varepsilon, что для всех номеров n>N_\varepsilon и всех точек x\in X выполняется неравенство

\left|f_n(x) - f(x)\right| < \varepsilon

Обычно обозначается f_n\rightrightarrows f.

Это условие равносильно тому, что

\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} \left|f_n(x) - f(x)\right|=0.

Пример[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если Yлинейное нормированное пространство и последовательности отображений f_n:X\to Y и g_n:X\to Y, n=1,2,\dots равномерно сходятся на множестве X, то последовательности \{ f_n+ g_n\} также как и \{ \alpha f_n\} при любых \alpha\in \R также равномерно сходятся на X.
  • Для вещественнозначных функций (или, более обще, если Yлинейное нормированное кольцо), последовательность отображений f_n:X\to \R, равномерно сходится на множестве X и g:X\to \R ограниченное отображение, то последовательность \{g f_n\} также равномерно сходится на X.
  • Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций f_n:[a,b]\to \R равномерно сходится на отрезке [a,b] к функции f : [a,b]\to\R, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого x\in [a,b] имеет место равенство
        \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^x f_n(t)dt=\int\limits_a^x f(t)dt
    и сходимость последовательности функций
        x\mapsto \int\limits_a^x f_n(t)dt
    на отрезке [a,b] к функции
        x\mapsto \int\limits_a^x f(t)dt
    равномерна.
  • Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [a,b] функций f_n : [a,b] \to\R, сходится в некоторой точке x_0, a последовательность их производных равномерно сходится на [a,b], то последовательность \{f_n\} также равномерно сходится на [a,b], её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
  • Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
  • Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.