Равномерная сходимость

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности $f_n:X\to Y$, где $X$ — произвольное множество, $Y=(Y,d)$ — метрическое пространство, $n = 1, 2,\dots$ сходится к функции (отображению) $f:X\to Y$, означающее, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N_\varepsilon$, что для всех номеров $n>N_\varepsilon$ и всех точек $x\in X$ выполняется неравенство

$\left|f_n(x) - f(x)\right| < \varepsilon$

Обычно обозначается $f_n\rightrightarrows f$.

Это условие равносильно тому, что

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X} \left|f_n(x) - f(x)\right|=0.$

Свойства

• Если $Y$ — линейное нормированное пространство и последовательности отображений $f_n:X\to Y$ и $g_n:X\to Y$, $n=1,2,\dots$ равномерно сходятся на множестве $X$, то последовательности $\{ f_n+ g_n\}$ также как и $\{ \alpha f_n\}$ при любых $\alpha\in \R$ также равномерно сходятся на $X$.

• Для вещественнозначных функций (или, более обще, если $Y$ — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений $f_n:X\to \R$, равномерно сходится на множестве $X$ и $g:X\to \R$ ограниченное отображение, то последовательность $\{g f_n\}$ также равномерно сходится на $X$.

• Если $X$ — топологическое пространство, $Y$ — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке $x_0\in X$ отображений $f_n:X\to Y$ равномерно сходится на множестве $X$ к отображению $f:X\to Y$, то это отображение также непрерывно в точке $x_0$.

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций $f_n:[a,b]\to \R$ равномерно сходится на отрезке $[a,b]$ к функции $f : [a,b]\to\R$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого $x\in [a,b]$ имеет место равенство
      $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^x f_n(t)dt=\int\limits_a^x f(t)dt$
  и сходимость последовательности функций
      $x\mapsto \int\limits_a^x f_n(t)dt$
  на отрезке $[a,b]$ к функции
      $x\mapsto \int\limits_a^x f(t)dt$
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $f_n : [a,b] \to\R$, сходится в некоторой точке $x_0$, a последовательность их производных равномерно сходится на $[a,b]$, то последовательность $\{f_n\}$ также равномерно сходится на $[a,b]$, её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
• Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
• Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.