Равностепенная непрерывность

Не следует путать с Равномерная непрерывность.

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций.

Определение

Пусть $X$, $Y$ — компактные метрические пространства и $C(X,\;Y)$ — множество непрерывных отображений $X$ в $Y$. Множество $D\subset$ $C(X,\;Y)$ называется равностепенно непрерывным, если для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta>0$, что из $d_X(x,\;y)<\delta$ вытекает $d_Y(f(x),\;f(y))<\varepsilon$ для любой $f\in D$.

Свойства

• По теореме Арцела — Асколи, равностепенная непрерывность $D$ эквивалентна относительной компактности $D$ $\subset$ $C(X,\;Y)$, наделенном метрикой

  $\rho(f,\;g) = \max_{x\in X} d_Y(f(x),\;g(x)).$

Вариации и обобщения

Понятие равностепенной непрерывности переносится на топологические пространства.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.