Радиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — основная единица измерения плоских углов в современной математике и физике. Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Таким образом, величина полного угла равна 2π радиан.

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна Rα.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности к длине её радиуса, радиан — величина безразмерная. Поэтому обозначение радиана (рад) часто опускается.

Связь радиана с другими единицами[править | править вики-текст]

Соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

Очевидно, 180° = π радиан. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

α[°] = α[рад] × (180° / π) или α[рад] × (360° / );
α[рад] = α[°] : (180° / π) = α[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, α[°] — угол в градусах


1 рад (или p^\circ) = \frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57{,}29578^\circ (\approx 57{,}30^\circ, \approx 57^\circ17'45''), точнее[1] = 57{,}295779513^\circ, = 57^\circ17'44{,}806''

p' (или 1 рад в минутах) = \frac{360^\circ \cdot 60'}{2\pi} \approx 3438', точнее = 3437{,}747'

p'' (или 1 рад в секундах) = \frac{360^\circ \times 60' \times 60''}{2\pi} \approx 206265'', точнее = 206264{,}8''.

Номограмма для перевода радианы/градусы.


В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
p^{\backprime \backprime} (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = \frac{400 \cdot 100 \cdot 100}{2\pi} = 636620.
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.


Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (rad) делаем именованное (p^\circ, p', p'') и поэтому должны множить на p^\circ (или p', p'');
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на p^\circ (или p', p''), либо же умножать на перевёрнутую дробь \frac{1}{p^\circ} (\frac{1}{p'}, \frac{1}{p''}).


Пример 1. Перевести в радианы 5^\circ43'{,}77 (\approx 5^\circ43'46'').

Решение

\alpha [rad] \eqcirc 5^\circ = \frac{5^\circ}{p^\circ} ~rad = 0{,}0872_6[2]

43' = \frac{43'}{p'} ~rad = 0{,}0125_{08}[2]

46'' = \frac{46''}{p''} ~rad = 0{,}0002_{23}[2]

\sum \approx 0{,}0999_9 ~rad[2] = 0{,}1 ~rad

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на p^\circ : (как правило, этот способ более точен)

46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}

43'{,}\boldsymbol{77} = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}

\sum = 5{,}\boldsymbol{7295}^\circ

5{,}7295^\circ = \frac{5{,}7295^\circ}{p^\circ} ~rad = \frac{5{,}7295^\circ}{57{,}295^\circ} = 0{,}1 ~rad

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан

\alpha [^\circ] \eqcirc 1 \cdot \frac{360^\circ}{2\pi} = 1 \cdot 57{,}29578^\circ = 57{,}\boldsymbol{29578}^\circ

0{,}\boldsymbol{29578}^\circ \cdot 60' = 17{,}\boldsymbol{7468}'

0{,}\boldsymbol{7468}' \cdot 60'' = 44{,}807'' \approx 45''

Итого \approx 57^\circ 17'45''.
В двух последних случаях остаток от частного суммируется и вычитается соответственно.


Радианная мера в математическом анализе[править | править вики-текст]

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) зачастую опускается. Так, например, в тригонометрии обозначение  \pi подразумевает не его числовое значение (3{,}1415926535), а  \pi \cdot Rad, т.е. 180^\circ и т.п. (см. Тригонометрические функции#Значения тригонометрических функций для некоторых углов).

При малых углах — менее 5^\circ43',77, т.е [грубо] меньше 6° (тождество точнее выдерживается при менее 0^\circ34',38, т.е [грубо] меньше 1°) — синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях:

\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha; \quad\alpha \ll 0,1 rad (5^\circ43',77, \approx 5^\circ43'46'')

и

\sin\alpha = \operatorname{tg}\,\alpha = \alpha; \quad\alpha \ll 0,01 rad 
(0^\circ34',38 \approx 0^\circ34'23'').

Радиан в физике[править | править вики-текст]

Радиан входит в Международную систему единиц СИ в качестве производной единицы СИ, имеющей специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[3].

Кратные и дольные единицы[править | править вики-текст]

Десятичные кратные и дольные единицы образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные Дольные
величина название обозначение величина название обозначение
101 рад декарадиан дарад darad 10−1 рад децирадиан драд drad
102 рад гекторадиан град hrad 10−2 рад сантирадиан срад crad
103 рад килорадиан крад krad 10−3 рад миллирадиан мрад mrad
106 рад мегарадиан Мрад Mrad 10−6 рад микрорадиан мкрад µrad
109 рад гигарадиан Град Grad 10−9 рад нанорадиан нрад nrad
1012 рад терарадиан Трад Trad 10−12 рад пикорадиан прад prad
1015 рад петарадиан Прад Prad 10−15 рад фемторадиан фрад frad
1018 рад эксарадиан Эрад Erad 10−18 рад атторадиан арад arad
1021 рад зеттарадиан Зрад Zrad 10−21 рад зепторадиан зрад zrad
1024 рад иоттарадиан Ирад Yrad 10−24 рад иокторадиан ирад yrad
     применять не рекомендуется      не применяются или редко применяются на практике

История[править | править вики-текст]

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу, который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[4]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Ал-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[5].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсоном Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мюир (англ. Thomas Muir (mathematician)) в 1869 году из Сент-Эндрюсского университета колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Муир, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать «радиан»[6][7][8].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Точность зависит от взятого количества знаков после запятой числа  \pi .
  2. 1 2 3 4 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
  3. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.
  4. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (February 2005).
  5. Luckey Paul Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — P. 40.
  6. Cajori Florian History of Mathematical Notations. — 1929. — Vol. 2. — P. 147–148. — ISBN 0-486-67766-4.
  7. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2110): 156. DOI:10.1038/083156a0. Bibcode:1910Natur..83..156M. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2112): 217. DOI:10.1038/083217c0. Bibcode:1910Natur..83..217T. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2120): 459–460. DOI:10.1038/083459d0. Bibcode:1910Natur..83..459M.
  8. Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Nov 23, 2009). Проверено 30 сентября 2011.

См. также[править | править вики-текст]