Радиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — основная единица измерения плоских углов в современной математике и физике. Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу. Таким образом, величина полного угла равна 2π радиан.

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна Rα.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности к длине её радиуса, радиан — величина безразмерная. Поэтому обозначение радиана (рад) часто опускается.

Связь радиана с другими единицами[править | править вики-текст]

Номограмма для перевода радианы/градусы.

Соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

Очевидно, 180° = π радиан. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

α[°] = α[рад] × (180 / π);
α[рад] = α[°] × (π / 180),

где α[рад] — угол в радианах, α[°] — угол в градусах

1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Радианная мера в математическом анализе[править | править вики-текст]

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу, что удобно при приближённых вычислениях:

\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha; \quad\alpha \ll 1.

Радиан в физике[править | править вики-текст]

Радиан входит в Международную систему единиц СИ в качестве производной единицы СИ, имеющей специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[1].

Кратные и дольные единицы[править | править вики-текст]

Десятичные кратные и дольные единицы образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные Дольные
величина название обозначение величина название обозначение
101 рад декарадиан дарад darad 10−1 рад децирадиан драд drad
102 рад гекторадиан град hrad 10−2 рад сантирадиан срад crad
103 рад килорадиан крад krad 10−3 рад миллирадиан мрад mrad
106 рад мегарадиан Мрад Mrad 10−6 рад микрорадиан мкрад µrad
109 рад гигарадиан Град Grad 10−9 рад нанорадиан нрад nrad
1012 рад терарадиан Трад Trad 10−12 рад пикорадиан прад prad
1015 рад петарадиан Прад Prad 10−15 рад фемторадиан фрад frad
1018 рад эксарадиан Эрад Erad 10−18 рад атторадиан арад arad
1021 рад зеттарадиан Зрад Zrad 10−21 рад зепторадиан зрад zrad
1024 рад иоттарадиан Ирад Yrad 10−24 рад иокторадиан ирад yrad
     применять не рекомендуется      не применяются или редко применяются на практике

История[править | править вики-текст]

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу, который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[2]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Ал-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[3].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсоном Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мюир (англ. Thomas Muir (mathematician)) в 1869 году из Сент-Эндрюсского университета колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Муир, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать «радиан»[4][5][6]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.
  2. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (February 2005).
  3. Luckey Paul Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — P. 40.
  4. Cajori Florian History of Mathematical Notations. — 1929. — Vol. 2. — P. 147–148. — ISBN 0-486-67766-4
  5. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2110): 156. DOI:10.1038/083156a0. Bibcode:1910Natur..83..156M. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2112): 217. DOI:10.1038/083217c0. Bibcode:1910Natur..83..217T. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2120): 459–460. DOI:10.1038/083459d0. Bibcode:1910Natur..83..459M.
  6. Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Nov 23, 2009). Проверено 30 сентября 2011.

См. также[править | править вики-текст]