Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n$ с неотрицательными членами существует такое число $d$, $0<d<1$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство $\sqrt[n]{a_n}<d$, то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1$

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда $\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;$, то если $0\le l<1$ ряд сходится, если $l>1$ ряд расходится, если $l=1$ вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть $l < 1$. Очевидно, что существует такое $\varepsilon > 0$, что $l + \varepsilon < 1$. Поскольку существует предел $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l$, то подставив в определение предела выбранное $\varepsilon$ получим:

$\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon$

Раскрыв модуль, получаем:

$- \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l < \varepsilon$

$l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < l + \varepsilon$

$(l - \varepsilon)^n < a_n < (l + \varepsilon)^n$

Поскольку $l + \varepsilon < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (l + \varepsilon)^n$ сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ тоже сходится.

2. Пусть $l > 1$. Очевидно, что существует такое $\varepsilon > 0$, что $l - \varepsilon > 1$. Поскольку существует предел $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l$, то подставив в определение предела выбранное $\varepsilon$ получим:

$\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon$

Раскрыв модуль, получаем:

$- \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l < \varepsilon$

$l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} < l + \varepsilon$

$(l - \varepsilon)^n < a_n < (l + \varepsilon)^n$

Поскольку $l - \varepsilon > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (l - \varepsilon)^n$ расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}$

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}$

2. Рассмотрим ряд

$\sum_{n=1}^\infty {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n(n-1)}$

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n-1} = \lim_{n \to \infty} {\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)}^{n-1} = e^{-2} < 1 \Rightarrow$ряд сходится.

См. также

• Признак Жамэ