Радикальный признак Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

\sum_{n=1}^\infty a_n

с неотрицательными членами существует такое число d, 0<d<1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство \sqrt[n]{a_n}<d, то данный ряд сходится.


Предельная форма[править | править исходный текст]

Условие радикального признака равносильно следующему:

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда

\sum_{n=1}^\infty a_n \ (a_n \ge \; 0) \ \exists\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l \;, то
если 0\le l<1 ряд сходится,
если l>1 ряд расходится,
если l=1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.


Доказательство[править | править исходный текст]

1. Пусть l < 1. Очевидно, что существует такое \varepsilon > 0, что l + \varepsilon < 1. Поскольку существует предел \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l, то, подставив в определение предела выбранное \varepsilon, получим:

\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon

Раскрыв модуль, получаем:

 - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l  < \varepsilon
 l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n}  < l + \varepsilon
 (l - \varepsilon)^n < a_n  < (l + \varepsilon)^n

Поскольку l + \varepsilon < 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} (l + \varepsilon)^n сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n тоже сходится.

2. Пусть l > 1. Очевидно, что существует такое \varepsilon > 0, что l - \varepsilon > 1. Поскольку существует предел \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=l, то, подставив в определение предела выбранное \varepsilon, получим:

\vert \sqrt[n]{a_n} - l \vert < \varepsilon

Раскрыв модуль, получаем:

 - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n} - l  < \varepsilon
 l - \varepsilon < \sqrt[n]{a_n}  < l + \varepsilon
 (l - \varepsilon)^n < a_n  < (l + \varepsilon)^n

Поскольку l - \varepsilon > 1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} (l - \varepsilon)^n расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_n тоже расходится.

Примеры[править | править исходный текст]

1. Ряд

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}
сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}

2. Рассмотрим ряд

\sum_{n=1}^\infty {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n(n-1)}
 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}  =  \lim_{n \to \infty} {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n-1}  = \lim_{n \to \infty} {\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)}^{n-1} =  e^{-2} < 1 \Rightarrow ряд сходится.

См. также[править | править исходный текст]