Радикал идеала

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативной алгебре, радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x, такими что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Определение[править | править вики-текст]

Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый \sqrt{I}, определяется как

\sqrt{I}=\{r\in R|\exists n \in \mathbb{N} \,\,\,  r^n\in I\}

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала R/I при отображении факторизации. Это также доказывает, что \sqrt{I} является идеалом.

Примеры[править | править вики-текст]

  • В кольце целых чисел радикал главного идеала (a) — это идеал, порожденный произведением всех простых делителей a.
  • Радикал примарного идеала прост. Обратно, если радикал идеала прост, то этот идеал примарен.
  • В любом коммутативном кольце \sqrt{P^n} = P для простого идеала P.[1] В частности, каждый простой идеал радикален.

Свойства[править | править вики-текст]

  • \sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}. Более того, \sqrt{I} — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
  • \sqrt{I} — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
  • Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

Приложения[править | править вики-текст]

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля k и любого конечнопорожденного идеала в кольце многочленов от n переменных над полем k верно следующее равенство:

\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt J)\,

где

 \operatorname{V}(J) = \{x \in k^n \ |\ f(x)=0 ~\forall f\in J\}

и

 \operatorname{I}(S) = \{f \in k[x_1,x_2,\ldots x_n] \ |\  f(x)=0 ~\forall x\in S \}.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Атья-Макдональд 2003, Предложение 4.2
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
  • Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, — ISBN 0-387-94268-8.