Разбиение единицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяются в частности интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

[править] Конструкция

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства открытыми множествами $D α$ . Разбиением единицы подчиненным покрытию ${D α}$ называется набор неотрицательных гладких функций $f β$ на $M$ обладающих следующими свойствами:

$0\leqslant f_\beta\leqslant 1.$
Носитель каждой из функций $f β$ целиком содержится в одном из множеств $D α$ .
Для любой точки $x\in M$ существует окрестность $W\ni x$ , такая что пересечение $W\cap\mathrm{supp}\,f_\beta$ непусто не более чем для конечного числа индексов $β$ .
Для любой точки $x\in M$ имеем