Разбиение единицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Конструкция[править | править исходный текст]

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства открытыми множествами D_\alpha. Разбиением единицы подчиненным покрытию \{ D_\alpha\} называется набор неотрицательных гладких функций f_\beta на M, обладающих следующими свойствами:

  • 0\leqslant f_\beta\leqslant 1.
  • Носитель каждой из функций f_\beta целиком содержится в одном из множеств D_\alpha.
  • Для любой точки x\in M существует окрестность W\ni x, такая что пересечение W\cap\mathrm{supp}\,f_\beta непусто не более чем для конечного числа индексов \beta.
  • Для любой точки x\in M имеем \sum_{\beta}{f_{\beta}(x)=1}. Эта сумма определена, так как по предыдущему свойству число функций, таких что f_{\beta}(x)\ne 0, конечно.

Свойства[править | править исходный текст]