Разбиение единицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Конструкция[править | править вики-текст]

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства M открытыми множествами D_\alpha. Разбиением единицы подчиненным покрытию \{ D_\alpha\} называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций f_\beta на M, обладающих следующими свойствами:

  • 0\leqslant f_\beta\leqslant 1.
  • Носитель каждой из функций f_\beta целиком содержится в одном из множеств D_\alpha.
  • Для любой точки x\in M имеем \sum_{\beta}{f_{\beta}(x)=1} (то есть при любом x\in M для не более, чем счётного множества функций f_\beta(x) отлично от нуля и ряд \sum_{i=1}^{\infty}{f_{\beta_i}(x)}, где    \{ \beta_1, \beta_2, ...\}=\{\beta:f_{\beta}(x)\neq 0\} сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).

Если для любой точки x\in M существует окрестность W\ni x, такая что пересечение W\cap\mathrm{supp}\,f_\beta непусто не более чем для конечного числа индексов \beta, то такое разбиение единицы называется локально конечным.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для всякого открытого покрытия паракомпактного T1-пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия T_1-пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
  • Для всякого открытого покрытия C^\infty-многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса C^\infty.

Литература[править | править вики-текст]

Энгелькинг Р. Общая топология / перевод М.Я.Антоновского и А.В.Архангельского. — М: Мир, 1986. — 752 с.

Ж. де Рам Дифференцируемые многообразия / перевод Д.А.Василькова. — М: иностранной литературы, 1956. — 250 с.