Разбиение числа

Разбие́ние числа́ n — это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В канонической записи разбиения части перечисляются в невозрастающем порядке.

Число разбиений $p(n)$ натурального числа n является одним из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.

Примеры

Например, $(3,1,1)$ или $(3,2)$ — разбиения числа 5, поскольку $5=3+1+1=3+2$. Всего существует p(5)=7 разбиений числа 5: $(1,1,1,1,1)$, $(2,1,1,1)$, $(2,2,1)$, $(3,1,1)$, $(3,2)$, $(4,1)$, $(5)$.

Некоторые значения числа разбиений $p(n)$ (последовательность A000041 в OEIS) приведены в следующей таблице:

• p(1) = 1
• p(2) = 2
• p(3) = 3
• p(4) = 5
• p(5) = 7
• p(6) = 11
• p(7) = 15
• p(8) = 22
• p(9) = 30
• p(10) = 42
• p(100) = 190 569 292
• p(1000) = 24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991 ( ≈2.4 × 10³¹)

Число разбиений

Производящая функция

Последовательность числа разбиений $p(n)$ имеет следующую производящую функцию:

$\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{k=1}^\infty \frac {1}{1-x^k}.$

Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.

Пентагональная теорема Эйлера

Изучая производящую функцию последовательности $p(n)$, Эйлер сосредоточил внимание на её знаменателе, то есть, на произведении $(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\ldots$. Это бесконечное произведение при раскрытии скобок приобретает следующий вид:

$(1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3) ... = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - x^{35} - x^{40} + ...$

Показатели степеней x в правой части — это пятиугольные числа, то есть, числа вида $(3q^2 + q)/2,$ где q — целое число, а знак при $x^{(3q^2 + q)/2}$ равен $(-1)^q$.

Согласно этому наблюдению Эйлер предположил, что должна быть верна Пентагональная теорема:

$\prod_{k=1}^\infty \left(1-x^k \right) = \sum_{q=-\infty}^\infty (-1)^q x^{(3q^2+q)/2}$ .

Впоследствии эта теорема была Эйлером доказана. Она позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.

Асимптотические формулы

Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном и впоследствии уточнено Радемахером. Оригинальное выражение Харди — Рамануджана

$p(n) \sim \frac {\exp \left( \pi \sqrt {\frac {2}{3}} \sqrt {n-\frac{1}{24}}\right) } {4n\sqrt{3}}$ при $n\rightarrow \infty$

дает, например, $p(1000)\approx 2.44\times 10^{31}$. Уточнение Радемахера представляет число разбиений в виде сходящегося ряда

$p(n)=\frac{1}{\pi \sqrt{2}} \sum_{k=1}^\infty A_k(n)\; \sqrt{k} \; \frac{d}{dn} \left( \frac {\sinh \left( \frac{\pi}{k} \sqrt{\frac{2}{3}\left(n-\frac{1}{24}\right)}\right) } {\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)$

где

$A_k(n) = \sum_{0\le m < k \; ; \; (m,k)=1}\exp \left( \pi i s(m,k) - 2\pi inm/k \right).$

Здесь суммирование ведется по $m$, взаимно простым с $k$, а $s(m,k)$ — сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.

Рекуррентные формулы

Количество разбиений числа n на слагаемые, не превышающие k, удовлетворяет рекуррентной формуле:

$P(n, k) = \begin{cases} P(n, k - 1) + P(n - k, k), & k \leqslant n,\\ P(n, n), & k > n, \end{cases}$

с начальными значениями:

$P(0, 0) = 1,$

$P(i, 0) = 0$ для всех $i > 0$

При этом количество всевозможных разбиений числа n равно $P(n, n)$.

Количество разбиений натурального числа n на k слагаемых удовлетворяет рекуррентной формуле:

$P(n, k) = P(n-1, k - 1) + P(n - k, k)$

с начальными значениями:

$P(i, i) = 1\quad \forall i \in \mathbb{N},$

$P(i, 1) = 1\quad \forall i \in \mathbb{N},$

$P(i, j) = 0\quad \forall j>i.$

Конгруэнтности

Эквивалентности разбиения и их свойства

Диаграммы Юнга

Диаграмма Юнга разбиения 10 = 5 + 4 + 1.

Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга. Диаграмма Юнга разбиения $(k_1, k_2,\dots,k_m)$ — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину $k_1$, над ней расположена строка длиной $k_2$, и т. д. до $m$-ой строки длины $k_m$. Строки выровнены по левому краю.

Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек $(x,y)$ таких, что

$x,y> 0$ и $y< \sum_{j=[x]}^{m} k_j,$

где $[x]$ обозначает целую часть $x$.

В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отражёнными относительно оси абсцисс.

Схожий объект, называемый диаграммой Ферре, отличается тем, что

• вместо ячеек изображаются точки;
• диаграмма транспонируется: ряды и столбцы меняются местами.

Применение

Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.

См. также

• Композиция
• Биномиальный коэффициент
• Теорема Хаусдорфа

Литература

• Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982. — 255 с.
• Макдональд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. — 224 с.
• Вайнштейн Ф. В. Разбиение чисел // Квант. — 1988. — № 11. — С. 19-25.
• Фукс Д. О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях // Квант. — 1981. — № 8. — С. 12-20.
• Бурман Ю. М. Разбиения и перестановки // Летняя школа «Современная математика». — 2004.