Разделённая разность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Разделё́нная ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

Определение[править | править исходный текст]

Разделённая разность нулевого порядка функции f(x) — сама функция f(x). Разделённая разность порядка n определяется через разделённую разность порядка n-1 по формуле

f(x_0;\;x_1;\;\ldots;\;x_n)=\frac{f(x_1;\;\ldots;\;x_n)-f(x_0;\;\ldots;\;x_{n-1})}{x_n-x_0}.

Для разделённой разности также верна формула

f(x_0;\;x_1;\;\ldots;\;x_n)=\sum_{j=0}^n\frac{f(x_j)}{\prod\limits_{i=0\atop i\neq j}^n(x_j-x_i)}.

Из этой формулы следует, что разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов (то есть при любой их перестановке не меняется), а также то, что при фиксированных x_0,\;\ldots,\;x_n разделённая разность — линейный функционал от функции f:

(a_0f_0+a_1f_1)(x_0;\;\ldots;\;x_n)=a_0f_0(x_0;\;\ldots;\;x_n)+a_1f_1(x_0;\;\ldots;\;x_n).

Применение[править | править исходный текст]

Через разделенные разности можно выразить интерполяционный многочлен в форме многочлена Ньютона:

L_n(x)=\sum_{i=1}^{n}f(x_1;\;\ldots;\;x_i)\omega_{i-1}(x),

где \omega_i(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_i), \omega_0(x)=1[1].

Эта формула позволяет после предварительных вычислений разделенных разностей, требующих O(n^2) действий (с меньшей, чем в других алгоритмах константой), вычислять многочлен Лагранжа в любой точке за O(n) действий.

История[править | править исходный текст]

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году[2].

Пример[править | править исходный текст]

Составить таблицу конечных разностей функции у = 2х^3 - 2х^2 + 3х - 1 См. на картинку. от начального значения x0 = 0, приняв шаг h = 1

Пример для функции у = 2 х^3 - 2 х^2 + 3 х - 1

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]