Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть $\Omega$ — ограниченное множество в метрическом пространстве $X$.

$\varepsilon$-покрытия

Пусть $\varepsilon>0$. Не более чем счётный набор $\{\omega_i\}_{i\in I}$ подмножеств пространства $X$ будем называть $\varepsilon$-покрытием множества $\Omega$, если выполнены следующие два свойства:

• $\Omega \subset \bigcup_{i\in I}\omega_i$
• для любого $i\in I$: $|\omega_i|<\varepsilon$ (здесь и далее $|\omega|$ означает диаметр множества $\omega$).

$\alpha$-мера Хаусдорфа

Пусть $\alpha>0$. Пусть $\Theta=\{\omega_i\}_{i\in I}$ — покрытие множества $\Omega$. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: $F_\alpha(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} |\omega_i|^\alpha$.

Обозначим через $M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)$ «минимальный размер» ${\varepsilon}$-покрытия множества $\Omega$: $M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) := \inf(F_\alpha(\Theta))$, где инфимум берётся по всем $\varepsilon$-покрытиям множества $\Omega$.

Очевидно, что функция $M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)$ (нестрого) возрастает при уменьшении $\varepsilon$, поскольку при уменьшении $\varepsilon$ мы только сжимаем множество возможных $\varepsilon$-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при $\varepsilon\rightarrow 0+$:

$M_{\alpha}(\Omega)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0+}M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega)$.

Величина $M_{\alpha}(\Omega)$ называется $\alpha$-мерой Хаусдорфа множества $\Omega$.

Свойства $\alpha$-меры Хаусдорфа

• $\alpha$-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на $X$.
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; $d$-мера Хаусдорфа множеств в $\mathbb{R}^d$ совпадает с их $d$-мерным объёмом.
• $M_{\alpha}(\Omega)$ убывает по $\alpha$. Более того, для любого множества $\Omega$ существует критическое значение $\alpha_0$, такое, что:
  • $M_{\alpha}(\Omega)=0$ для всех $\alpha>\alpha_0$
  • $M_{\alpha}(\Omega)=+\infty$ для всех $\alpha<\alpha_0$

Значение $M_{\alpha_0}(\Omega)$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа множества $\Omega$ называется число $\alpha_0$ из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на $n$ частей, подобных исходному множеству с коэффициентами $r_1,r_2,\dots,r_n$, то его размерность $s$ является решением уравнения $r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1$. Например,

• размерность множества Кантора равна $\ln2/\ln3$ (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
• размерность треугольника Серпинского — $\ln3/\ln2$ (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
• размерность кривой дракона — $2$ (разбивается на 2 части, коэффициент подобия $\sqrt \tfrac{1}{2}$).

Свойства размерности Хаусдорфа

• Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
• Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна макcимуму из их размерностей. В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.

См. также

• фрактал
• размерность Минковского

Литература

• Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7