Размерность Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Размерность Хаусдорфа — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение[править | править вики-текст]

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть \Omega — ограниченное множество в метрическом пространстве X.

\varepsilon-покрытия[править | править вики-текст]

Пусть \varepsilon>0. Не более чем счётный набор \{\omega_i\}_{i\in I} подмножеств пространства X будем называть \varepsilon-покрытием множества \Omega, если выполнены следующие два свойства:

  • \Omega \subset \bigcup_{i\in I}\omega_i
  • для любого i\in I: |\omega_i|<\varepsilon (здесь и далее |\omega| означает диаметр множества \omega).

\alpha-мера Хаусдорфа[править | править вики-текст]

Пусть \alpha>0. Пусть \Theta=\{\omega_i\}_{i\in I} — покрытие множества \Omega. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: F_\alpha(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} |\omega_i|^\alpha.

Обозначим через M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) «минимальный размер» {\varepsilon}-покрытия множества \Omega: M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) := \inf(F_\alpha(\Theta)), где инфимум берётся по всем \varepsilon-покрытиям множества \Omega.

Очевидно, что функция M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) (нестрого) возрастает при уменьшении \varepsilon, поскольку при уменьшении \varepsilon мы только сжимаем множество возможных \varepsilon-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при \varepsilon\rightarrow 0+:

M_{\alpha}(\Omega)=\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0+}M^{\varepsilon}_{\alpha}(\Omega) .

Величина M_{\alpha}(\Omega) называется \alpha-мерой Хаусдорфа множества \Omega.

Свойства \alpha-меры Хаусдорфа[править | править вики-текст]

  • \alpha-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на X.
  • с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; d-мера Хаусдорфа множеств в \mathbb{R}^d совпадает с их d-мерным объёмом.
  • M_{\alpha}(\Omega) убывает по \alpha. Более того, для любого множества \Omega существует критическое значение \alpha_0, такое, что:
    • M_{\alpha}(\Omega)=0 для всех \alpha>\alpha_0
    • M_{\alpha}(\Omega)=+\infty для всех \alpha<\alpha_0

Значение M_{\alpha_0}(\Omega) может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа[править | править вики-текст]

Размерностью Хаусдорфа множества \Omega называется число \alpha_0 из предыдущего пункта.

Примеры[править | править вики-текст]

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на n частей, подобных исходному множеству с коэффициентами r_1,r_2,\dots,r_n, то его размерность s является решением уравнения r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1. Например,

Свойства размерности Хаусдорфа[править | править вики-текст]

  • Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
  • Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7