Распределение Вейбулла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Вейбулла
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение \mathrm{W}(k,\lambda)
Параметры \lambda>0\, - коэффициент масштаба,
k>0\,
Носитель x \in [0; +\infty)\,
Плотность вероятности (k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}
Функция распределения 1- e^{-(x/\lambda)^k}
Математическое ожидание \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
Медиана \lambda\ln(2)^{1/k}\,
Мода \frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k}}}{k^{\frac{1}{k}}}, для k>1
Дисперсия \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
Коэффициент асимметрии \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2-2\mu^3}{\sigma^3}
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k
+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)
Производящая функция моментов
Характеристическая функция


Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть распределение случайной величины ~X задаётся плотностью ~f_X(x), имеющей вид:

f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right..

Тогда говорят, что ~X имеет распределение Вейбулла. Пишут: ~X \sim \mathrm{W}(k,\lambda).

Моменты[править | править вики-текст]

Моменты случайной величины ~X, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right), где ~\Gammaгамма-функция,

откуда

\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right),
\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right].

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \mathrm{W}\left(1, \frac{1}{\lambda}\right).
\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda).

Ссылки[править | править вики-текст]


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула