Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	{{{notation}}}
Параметры	$\lambda>0\,$ - коэффициент масштаба, $k>0\,$
Носитель	$x \in [0; +\infty)\,$
Плотность вероятности	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
Функция распределения	$1- e^{-(x/\lambda)^k}$
Математическое ожидание	$\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$
Медиана	$\lambda\ln(2)^{1/k}\,$
Мода	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k}}}{k^{\frac{1}{k}}},$ для $k>1$
Дисперсия	$\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,$
Коэффициент асимметрии	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2-2\mu^3}{\sigma^3}$
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)$
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределе́ние Ве́йбулла в теории вероятностей — трёхпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

Пусть распределение случайной величины $~X$ задаётся плотностью $~f_X(x)$, имеющей вид:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right..$

Тогда говорят, что $~X$ имеет распределение Вейбулла. Пишут: $~X \sim \mathrm{W}(k,\lambda)$.

Моменты

Моменты случайной величины $~X$, имеющей распределение Вейбулла имеют вид

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)$, где $~\Gamma$ — гамма-функция,

откуда

$\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)$,

$\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right]$.

Связь с другими распределениями

• Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла:

$\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \mathrm{W}\left(1, \frac{1}{\lambda}\right)$.

• Метод обратного преобразования: если $~U \sim \mathrm{U}(0,1)$, то

$\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda)$.

Ссылки

• Примеры графиков функции распределения Вейбулла (англ.)
• Распределение Вейбулла (англ.)