Распределение Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Пуассона
Функция вероятности
Plot of the Poisson PMF
Функция распределения
Plot of the Poisson CMF
Обозначение \mathrm{P}(\lambda)\!
Параметры \lambda \in (0,\infty)
Носитель k \in \{0,1,2,\ldots\}
Функция вероятности \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
Функция распределения \frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!
Математическое ожидание \lambda\,
Медиана \approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
Мода \lfloor\lambda\rfloor
Дисперсия \lambda\,
Коэффициент асимметрии \lambda^{-1/2}\,
Коэффициент эксцесса \lambda^{-1}\,
Информационная энтропия \lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}
Производящая функция моментов \exp(\lambda (e^t-1))\,
Характеристическая функция \exp(\lambda (e^{it}-1))\,

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение[править | править вики-текст]

Выберем фиксированное число \lambda > 0\! и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda},

где

Тот факт, что случайная величина Y\! имеет распределение Пуассона с параметром \lambda\!, записывается: Y \sim~ \mathrm{P}(\lambda).

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

E_Y(t)=e^{\lambda\left(e^t-1\right)},

откуда

\mathbb{M}[Y]=\lambda,
\mathbb{D}[Y]=\lambda.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

\mathbb{M}Y^{[k]}=\lambda^k,

где k=1,2,...\!

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона[править | править вики-текст]

  • Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть Y_i\sim\mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n. Тогда
Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).
Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right) .

Асимптотическое стремление к распределению[править | править вики-текст]

Довольно часто в теории вероятности рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \dots, принимающих целочисленные значения, такую что для всякого k выполнено P\{\xi_n=k\} \sim \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} при n \to \infty.

Простейшим примером является случай, когда \xi_n имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха \frac{\lambda}{n} в каждом из n испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами[править | править вики-текст]

Рассмотрми последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \dots, принимающих целые неотрицательные значения. Если \mu_r({\xi_n}) \sim \lambda^r при n \to \infty и любом фиксированном r (где \mu_r({\xi_n}) - r-ый факториальный момент), то для всякого k при n \to \infty выполнено P\{\xi_n=k\} \sim \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к \mathrm{P}(\lambda) распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном n-вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью p_n \sim \frac{2\lambda}{n^2}.[1]

История[править | править вики-текст]

Работа Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах» опубликована в 1837 году.[2][3] Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счетчика радиоактивного излучения и др.[4]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула