Распределение Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Пуассона
Функция вероятности
Plot of the Poisson PMF
Функция распределения
Plot of the Poisson CMF
Обозначение \mathrm{P}(\lambda)\!
Параметры \lambda \in (0,\infty)
Носитель k \in \{0,1,2,\ldots\}
Функция вероятности \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
Функция распределения \frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!
Математическое ожидание \lambda\,
Медиана \approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
Мода \lfloor\lambda\rfloor
Дисперсия \lambda\,
Коэффициент асимметрии \lambda^{-1/2}\,
Коэффициент эксцесса \lambda^{-1}\,
Информационная энтропия \lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}
Производящая функция моментов \exp(\lambda (e^t-1))\,
Характеристическая функция \exp(\lambda (e^{it}-1))\,

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение[править | править вики-текст]

Выберем фиксированное число \lambda > 0\! и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda},

где

Тот факт, что случайная величина Y\! имеет распределение Пуассона с параметром \lambda\!, записывается: Y \sim~ \mathrm{P}(\lambda).

Моменты[править | править вики-текст]

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

E_Y(t)=e^{\lambda\left(e^t-1\right)},

откуда

\mathbb{M}[Y]=\lambda,
\mathbb{D}[Y]=\lambda.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

\mathbb{M}Y^{[k]}=\lambda^k,

где k=1,2,...\!

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона[править | править вики-текст]

  • Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть Y_i\sim\mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n. Тогда
Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right).
Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right) .

История[править | править вики-текст]

Работа Пуассона впервые опубликована в 1837 году. Изначально распределение Пуассона было предложено для моделирования потока входящих телефонных звонков на коммутатор. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счетчика радиоактивного излучения и др.[1].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Вентцель Е. С., Овчаров Л. А., Теория вероятностей и её инженерные приложения, М.: 2000, С. 135. — ISBN 978-5-406-00565-1.
  • Ральф Винс Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. — М.: «Альпина Паблишер», 2012. — 400 с. — ISBN 978-5-9614-1894-1.


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула