Распределение Рэлея

Распределение Рэлея

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	{{{notation}}}
Параметры	$\sigma>0\,$
Носитель	$x\in [0;\infty)$
Плотность вероятности	$\frac{x}{{{\sigma }^{2}}}\exp \left( -\frac{{{x}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}} \right)$
Функция распределения	$1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)$
Математическое ожидание	$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \sigma$
Медиана	$\sigma\sqrt{\ln(4)}\,$
Мода	$\sigma\,$
Дисперсия	$\left( 2-\pi /2 \right){{\sigma }^{2}}$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$
Коэффициент эксцесса	$-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$
Информационная энтропия	$1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}$
Производящая функция моментов	$1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)$
Характеристическая функция	$1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)$

Распределение Рэлея — это распределение вероятностей случайной величины $\displaystyle X$ с плотностью

$f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0,\sigma>0,$

где $\displaystyle\sigma$ — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

$\mathsf P(X\leqslant x)=\int\limits_0^xf(\xi)\,d\xi=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0.$

Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

Применение

• В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как $X$ и $Y$, получим выражение для величины промаха в виде $R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}$. В этом случае величина $R$ имеет распределение Рэлея.
• В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.
• Плотность распределения излучения абсолютно чёрного тела по частотам.

Связь с другими распределениями

• Если ${X}$ и ${Y}$ — независимые гауссовские случайные величины имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии ${{\sigma }^{2}}$, то случайная величина $Z=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}$ имеет распределение Рэлея.
• Если независимые гауссовские случайные величины ${X}$ и ${Y}$ имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса.
• Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с ${\sigma=1}$ имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.

См. также

• Закон Рэлея — Джинса
• Распределение Райса
• Нормальное распределение

Литература

1. Перов, А. И. Статистическая теория радиотехнических систем. — М.: Радиотехника, 2003. — 400 с. — ISBN 5-93108-047-3