Распределение Рэлея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Рэлея
Плотность вероятности
Плотность распределения Рэлея
Функция распределения
Функция распределения Рэлея
Обозначение {{{notation}}}
Параметры \sigma>0\,
Носитель x\in [0;\infty)
Плотность вероятности \frac{x}{{{\sigma }^{2}}}\exp \left( -\frac{{{x}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}} \right)
Функция распределения 1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)
Математическое ожидание \sqrt{\frac{\pi}{2}} \sigma
Медиана \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
Мода \sigma\,
Дисперсия \left( 2-\pi /2 \right){{\sigma }^{2}}
Коэффициент асимметрии \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
Коэффициент эксцесса -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}
Информационная энтропия 1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}
Производящая функция моментов 1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)
Характеристическая функция 1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)


Распределение Рэлея — это распределение вероятностей случайной величины \displaystyle X с плотностью

f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0,\sigma>0,

где \displaystyle\sigma — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

\mathsf P(X\leqslant x)=\int\limits_0^xf(\xi)\,d\xi=1-\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right),x\geqslant0.

Введено впервые в 1880 г. Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

Применение[править | править вики-текст]

  • В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как X и Y, получим выражение для величины промаха в виде R=\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}. В этом случае величина R имеет распределение Рэлея.
  • В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.
  • Плотность распределения излучения абсолютно чёрного тела по частотам.[???]

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Перов, А. И. Статистическая теория радиотехнических систем. — М.: Радиотехника, 2003. — 400 с. — ISBN 5-93108-047-3.
Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула