Распределение Фишера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Фишера (Распределение Снедекора)
Плотность вероятности
F distributionPDF.png
Функция распределения
F distributionCDF.png
Обозначение F(d_1,d_2)\,
Параметры d_1>0,\ d_2>0 - числа степеней свободы
Носитель x \in [0; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!
Функция распределения I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!
Математическое ожидание \frac{d_2}{d_2-2}\!, если d_2 > 2
Медиана
Мода \frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!, если d_1 > 2
Дисперсия \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!, если d_2 > 4
Коэффициент асимметрии \frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!,
если d_2 > 6
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов '
Характеристическая функция


Распределе́ние Фи́шера в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть Y_1,Y_2 — две независимые случайные величины, имеющие распределение хи-квадрат: \,Y_i \sim  \chi^2(d_i), где d_i \in \mathbb{N},\; i=1,2. Тогда распределение случайной величины

F = \frac{Y_1/d_1}{Y_2/d_2},

называется распределением Фишера (распределением Снедекора) со степенями свободы d_1 и d_2. Пишут \,F \sim  \mathrm{F}(d_1,d_2).

Моменты[править | править вики-текст]

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей распределение Фишера, имеют вид:

\mathbb{M}[F] = \frac{d_2}{d_2 - 2}, если d_2 > 2,
\mathrm{D}[F] = \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\!, если d_2 > 4.

Свойства распределения Фишера[править | править вики-текст]

  • Если \,F \sim \mathrm{F}(d_1,d_2), то \, \frac{1}{F} \sim \mathrm{F}(d_2, d_1).
  • Распределение Фишера сходится к единице. Доказательство:
    если F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2), то F_{d_1,d_2} \to \delta(x-1) по распределению при d_1,d_2 \to \infty, где \delta(x-1) — дельта-функция в единице, то есть распределение случайной величины-константы X \equiv 1.

Связь с другими распределениями[править | править вики-текст]

  • Если F_{d_1,d_2} \sim \mathrm{F}(d_1,d_2), то случайные величины d_1 F_{d_1,d_2} сходятся по распределению к \chi^2(d_1) при d_2 \to \infty.
Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами |Парето | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула