Распределение variance-gamma

Распределение variance-gamma

Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	{{{notation}}}
Параметры	$\mu$ (вещественное число) $\alpha$ (вещественное число) $\beta$ коэффициент асимметрии (вещественное число) $\lambda > 0$ $\gamma = \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} > 0$
Носитель	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{\gamma^{2\lambda} | x - \mu|^{\lambda-1/2} K_{\lambda-1/2} \left(\alpha|x - \mu|\right)}{\sqrt{\pi} \Gamma (\lambda)(2 \alpha)^{\lambda-1/2}} \; e^{\beta (x - \mu)}$ $K_\lambda$ обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода $\Gamma$ обозначает Гамма-функцию
Функция распределения
Математическое ожидание	$\mu + 2 \beta \lambda/ \gamma^2$
Медиана
Мода
Дисперсия	$2\lambda(1 + 2 \beta^2/\gamma^2)/\gamma^2$
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$e^{\mu z} \left(\gamma/\sqrt{\alpha^2 -(\beta+z)^2}\right)^{2\lambda}$
Характеристическая функция

Распределение variance-gamma — распределение вероятностей, является нормальной смесью дисперсии-среднего, в которой в качестве взвешивающей плотности взята плотность гамма-распределения. Распределение обладает «тяжелыми хвостами» (тяжелее, чем у нормального распределения), поэтому подходит для моделирования ситуаций в которых появление больших значений случайной величины более вероятно. Примерами могут служить прибыль финансовых активов и скорости турбулентных воздушных потоков. Семейство распределений variance-gamma является подклассом обобщенных гиперболических распределений.