Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция S³ на R³. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на S² (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции S³ (слева).

В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

$S^1 \hookrightarrow S^3 \xrightarrow{\ p \, } S^2.$

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы $S^3$ как единичной сферы в $\mathbb{C}^2$, а двумерной сферы $S^2$ как комплексной проективной прямой $\mathbb{C}P^1$. Тогда отображение

$p:(z_1,z_2)\mapsto (z_1:z_2)$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы $S^1$:

$\theta : (z_1,z_2)\mapsto (\theta z_1, \theta z_2),$

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

$S^1=\{\theta \mid \theta\in\mathbb{C}, \, |\theta|=1 \}.$

Обобщения

• Совершенно аналогично, нечётномерная сфера $S^{2n+1}$ расслаивается со слоем-окружностью над $\mathbb{C}P^n.$
• Также (помимо вышеуказанной «комплексной»), существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

$S^0\hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1 \,$   (вещественная),

$S^1\hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2 \,$   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

$S^3\hookrightarrow S^7\rightarrow S^4 \,$   (кватернионная),

$S^7\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^8 \,$   (октавная).

На самом деле, это все расслоения, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами.

Ссылки

• Видео-демонстрация отображения Хопфа на сайте Dimensions-math, главы 7 и 8
• Пояснения к демонстрации отображения Хопфа на сайте Dimensions-math
• Отображение Хопфа на сайте Mathworld

См. также

• Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
• Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
• Трехмерная сфера — в ней происходит расслоение Хопфа
• Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее