Расстояние городских кварталов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
В метрике городских кварталов длины красной, жёлтой и синей линий равны между собой (12). В геометрии Евклида, зелёная линия имеет длину 12/√2 ≈ 8.48 и представляет собой единственный кратчайший путь.

Расстояние городских кварталовметрика, введённая Германом Минковским. Согласно этой метрике, расстояние между двумя точками равно сумме модулей разностей их координат.

У этой метрики много имён. Расстояние городских кварталов также известно как манхэттенское расстояние, метрика прямоугольного города, метрика L1 или норма \ell_1 (см. пространство Lp), метрика городского квартала, метрика такси, метрика Манхэттена, прямоугольная метрика, метрика прямого угла; на \mathbb{Z}^2 её называют метрикой гриды и 4-метрикой[1][2][3].

Название «манхэттенское расстояние» связано с уличной планировкой Манхэттена[4].

Окружности в дискретной и непрерывной геометрии городских кварталов

Формальное определение[править | править вики-текст]

Расстояние городских кварталов d_1 между двумя векторами \mathbf{p}, \mathbf{q} в n-мерном вещественном векторном пространстве с заданной системой координат — сумма длин проекций отрезка между точками на оси координат. Более формально,

d_1(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\|_1 = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|,

где

\mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots,p_n) и \mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots,q_n)\,

векторы.

Например, на плоскости расстояние городских кварталов между (p_1,p_2) и (q_1,q_2) равно | p_1 - q_1 | + | p_2 - q_2 |.

Свойства[править | править вики-текст]

Манхэттенское расстояние зависит от вращения системы координат, но не зависит от отражения относительно оси координат или переноса. В геометрии, основанной на манхэттенском расстоянии, выполняются все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы о конгруэнтных треугольниках.

Шар в этой метрике имеет форму октаэдра, вершины которого лежат на осях координат.

Примеры[править | править вики-текст]

Chess zhor 26.svg
Chess zver 26.svg
Chess x6l45.svg Chess x5d45.svg Chess x4l45.svg Chess x3d45.svg Chess x2l45.svg Chess x3d45.svg Chess x4l45.svg Chess x5d45.svg
Chess x5d45.svg Chess x4l45.svg Chess x3d45.svg Chess x2l45.svg Chess x1d45.svg Chess x2l45.svg Chess x3d45.svg Chess x4l45.svg
Chess x4l45.svg Chess x3d45.svg Chess x2l45.svg Chess x1d45.svg Chess mll45.svg Chess x1d45.svg Chess x2l45.svg Chess x3d45.svg
Chess x5d45.svg Chess x4l45.svg Chess x3d45.svg Chess x2l45.svg Chess x1d45.svg Chess x2l45.svg Chess x3d45.svg Chess x4l45.svg
Chess x6l45.svg Chess x5d45.svg Chess x4l45.svg Chess x3d45.svg Chess x2l45.svg Chess x3d45.svg Chess x4l45.svg Chess x5d45.svg
Chess x7d45.svg Chess x6l45.svg Chess x5d45.svg Chess x4l45.svg Chess x3d45.svg Chess x4l45.svg Chess x5d45.svg Chess x6l45.svg
Chess x8l45.svg Chess x7d45.svg Chess x6l45.svg Chess x5d45.svg Chess x4l45.svg Chess x5d45.svg Chess x6l45.svg Chess x7d45.svg
Chess x9d45.svg Chess x8l45.svg Chess x7d45.svg Chess x6l45.svg Chess x5d45.svg Chess x6l45.svg Chess x7d45.svg Chess x8l45.svg
Chess zver 26.svg
Chess zhor 26.svg
Манхэттенское расстояние между двумя полями шахматной доски равно минимальному количеству ходов, которое необходимо визирю, чтобы перейти из одного поля в другое.

Расстояния в шахматах[править | править вики-текст]

Расстояние между полями шахматной доски для визиря (или ладьи, если расстояние считать в клетках) равно манхэттенскому расстоянию; король и ферзь пользуются расстоянием Чебышёва, а слон — манхэттенским расстоянием на доске, повёрнутой на 45°.

Пятнашки[править | править вики-текст]

Сумма манхэттенских расстояний между костяшками и позициями, в которых они находятся в решённой головоломке «Пятнашки», используется в качестве эвристической функции для поиска оптимального решения[5].

Клеточные автоматы[править | править вики-текст]

Множество клеток на двумерном квадратном паркете, манхэттенское расстояние до которых от данной клетки не превышает r, назвается окрестностью фон Неймана диапазона (радиуса) r[6].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Елена Деза, Мишель Мари Деза Глава 19. Расстояния на действительной и цифровой плоскостях. 19.1. Метрики на действительной плоскости // Энциклопедический словарь расстояний = Dictionary of Distances. — М: Наука, 2008. — С. 276. — ISBN 978-5-02-036043-3
  2. Кластерный анализ: Меры расстояния
  3. Manhattan distance
  4. City Block Distance. Spotfire Technology Network.
  5. История компьютера: Эвристические функции
  6. Weisstein, Eric W. von Neumann Neighborhood (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]