Расширение Галуа

Расшире́ние Галуа́ — алгебраическое расширение поля EÉ K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E - конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения [E:K]).

Группа автоморфизмов E над K называется группой Галуа и обозначается Gal(E/K) (или G(E/K)).

Если Gal(E/K) абелева, циклическая и т.д., то расширение Галуа называется соответственно абелевым, циклическим и т.д. соответственно.

Иногда рассматривают группу Галуа для расширения E, которое сепарабельно, но необязательно нормально. В этом случае под группой Галуа E/K понимают группу Gal(Ē/K), где Ē — минимальное нормальное расширение K, содержащее E (в конечном случае, когда сепарабельное расширение является простым E=K(α) для некоторого α, являющегося корнем неприводимого над K многочлена f(x), Ē является полем разложения этого многочлена).

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также

• Теория Галуа