Расширение поля

Расшире́ние по́ля $K$ — поле $E$, содержащее данное поле $K$ в качестве подполя $E\supset K$. Исследование расширений является основной задачей теории полей.

Типы расширений

• Алгебраическое расширение — расширение, все элементы которого являются алгебраическими над $K$, то есть любой элемент которого является корнем некоторого многочлена $f(x)$ c коэффициентами из $K$.
• Трансцендентное расширение — расширение, не являющееся алгебраическим.

• Конечное расширение — расширение, являющееся конечномерным над $K$ как векторное пространство. Всегда является алгебраическим.
• Конечно порождённое расширение — расширение $E$, такое, в котором существуют элементы $\alpha_1, ... \alpha_n$ и $E=K(\alpha_1, ... \alpha_n)$. Обобщение конечных расширений на трансцендентные: если расширение конечно порождено и алгебраично, то оно конечно.
• Простое расширение — расширение, порождённое одним элементом $E=K(\alpha)$.

• Нормальное расширение — алгебраическое расширение $E$, для которого каждый неприводимый многочлен $f(x)$ над $K$, имеющий хотя бы один корень в $E$, разлагается в $E$ на линейные множители.
• Сепарабельное расширение — алгебраическое расширение, состоящее из сепарабельных элементов то есть таких элементов $\alpha$, неприводимый многочлен $f(x)$ над $K$ для которых не имеет кратных корней. Также понятие сепарабельности обобщается на неалгебраические расширения.
• Расширение Галуа — алгебраическое расширение, являющееся нормальным и сепарабельным.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967