Расширение поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Расшире́ние по́ля K — поле E, содержащее данное поле K в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определения[править | править вики-текст]

Если E — поле, его подполе — это его подмножество K, замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле E. В этом случае E называется расширением поля K, заданное расширение обычно обозначают E\supset K (также используются обозначения E/K и K\subset E). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения E\supset K эквивалентно заданию гомоморфизма f:K\to E.

Если задано расширение E\supset K и подмножество S поля E, то наименьшее подполе E, содержащее K и S, обозначается K(S) и называется полем, порожденным множеством S над полем K. Расширения, порожденные одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порожденные конечным множеством — конечно порожденными расширениями.

Для любого расширения E\supset K E является векторным пространством над полем K. В этой ситуации элементы E можно понимать как «векторы», а элементы K — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле E. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [E:K]. Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

Примеры[править | править вики-текст]

Поле комплексных чисел \mathbb C является расширением поля действительных чисел \mathbb R. Это расширение конечно: [\mathbb C : \mathbb R]=2, так как (1, i) является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.

Множество \{a+b\sqrt 2 \;|\; a,b\in \mathbb Q\} является расширением поля \mathbb Q, которое, очевидно, является простым. Конечные расширения \mathbb Q называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена f(x) — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному f(x). Например, пусть поле K не содержит корня уравнения x^2=-1. Следовательно, многочлен x^2+1 является неприводимым в K, следовательно, идеал (x^2+1) — максимальный, а значит факторкольцо K[x]/(x^2+1) является полем. Это поле содержит корень уравнения x^2+1=0 — образ многочлена x при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Алгебраичность и трансцендентность[править | править вики-текст]

Пусть E — расширение поля K. Элемент E называется алгебраическим над K, если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в K. Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения \mathbb C\supset \mathbb R мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению x^2+1=0.

Особенно важен частный случай расширений \mathbb C\supset \mathbb Q: термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения E\supset K является алгебраическим над K, E\supset K называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество S поля E называется алгебраически независимым над K, если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в K, такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из S получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество S, такое что E\supset K(S) является алгебраическим расширением. Множество S, удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы E\supset K, являющиеся алгебраическими над K — это сами элементы K.

Расширения Галуа[править | править вики-текст]

Алгебраическое расширение E\supset K называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители.

Алгебраическое расширение E\supset K называется сепарабельным, если каждый элемент E является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения E\supset K можно рассмотреть группу автоморфизмов поля E, действующих тождественно на поле K. Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения E\supset K часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя E, содержащие K). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.