Расширенная числовая прямая

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Расширенная числовая прямая \overline{\mathbb{R}} (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел \mathbb{R}, дополненное двумя элементами: +\infty (положительная бесконечность) и -\infty (отрицательная бесконечность), то есть


\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}

Бесконечности +\infty и -\infty, которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами[источник не указан 206 дней], в отличие от вещественных чисел a \in \mathbb{R}, называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа x \in \mathbb{R} по определению полагают выполненными неравенства

-\infty < x < +\infty

Следует отличать расширенную числовую прямую \overline{\mathbb{R}} от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью \infty. Такая система называется проективной прямой, и обозначается \mathbb{R}P^1

Мотивировка[править | править вики-текст]

При формулировке многих теорем и определений в математическом анализе приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного».

Например, отдельно формулируются понятия сходящейся последовательности


\lim_{n \to \infty}x_n = a \in \mathbb{R} 
\quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon)

и последовательности, предел которой равен +\infty:


\lim_{n \to \infty}x_n = +\infty
\quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall n (n > \delta \Rightarrow x_n > \varepsilon)

Отдельно формулируются понятия предела функции при x \to a \in \mathbb{R}


\lim_{x \to a}f(x) = A
\quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (|x-a|< \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)

и предела при x \to +\infty:


\lim_{x \to +\infty}f(x) = A
\quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (x >  \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon)

Таким образом, +\infty и -\infty в такой же мере являются элементами множества \overline{\mathbb{R}}, как и конечные вещественные числа. Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.[источник не указан 206 дней]

Упорядоченность[править | править вики-текст]

Множество вещественных чисел \mathbb{R} линейно упорядоченно по отношению \leqslant. Однако в \mathbb{R} нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то ее расширение до системы \overline{\mathbb{R}} как раз состоит в добавлении максимального (+\infty) и минимального (-\infty) элементов.

Благодаря этому, в системе \overline{\mathbb{R}} всякой непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и +\infty, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов +\infty и -\infty.

Топология расширенной числовой прямой[править | править вики-текст]

Открытые множества и окрестности[править | править вики-текст]

Отношение порядка < порождает топологию \tau на \overline{\mathbb{R}}. В топологии \tau открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов


(\alpha,\beta) = \{x \in \overline{\mathbb{R}} \colon \alpha < x < \beta\}, \quad 
(\alpha, +\infty] = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x > \alpha\}, \quad 
[-\infty, \beta) = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x < \beta\},

где \alpha, \beta \in \overline{\mathbb{R}}.

Окрестностью U(a) точки a \in \overline{\mathbb{R}} называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии \tau, всякая окрестность точки a включает один из интервалов указанного вида, содержащий a.

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие \varepsilon-окрестности U_{\varepsilon} (a) точки расширенной числовой прямой (\varepsilon > 0).

В случае a \in \mathbb{R}, то есть когда a является числом, \varepsilon-окрестностью a называется множество


U_{\varepsilon} (a) \overset{\mathrm{def}}{=} (a - \varepsilon , a + \varepsilon).

Если же a = +\infty, то


U_{\varepsilon} (+\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left( \frac{1}{\varepsilon}, +\infty \right],

а если a = -\infty, то


U_{\varepsilon} (-\infty) \overset{\mathrm{def}}{=} \left[ -\infty, -\frac{1}{\varepsilon} \right).

Понятие \varepsilon-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда a является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа \varepsilon соответствующие окрестности уменьшаются: 0 < \varepsilon_1 <\varepsilon_2 \Rightarrow U_{\varepsilon_1}(a) \subset U_{\varepsilon_2}(a).

Пределы[править | править вики-текст]

В \overline{\mathbb{R}} все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть f \colon X \to \overline{\mathbb{R}}, где X \subset \overline{\mathbb{R}}. В частности f может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть x_0, a \in \overline{\mathbb{R}}


\lim_{x \to x_0} f(x)=a \overset{\mathrm{def}}{\iff}
\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \; (x \in U_{\delta}(x_0) \Rightarrow f(x) \in U_{\varepsilon}(a))

Компактность[править | править вики-текст]

\overline{\mathbb{R}} — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел \mathbb{R} является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел \overline{\mathbb{R}} может рассматриваться как двухточечная компактификация \mathbb{R}. При этом \overline{\mathbb{R}} оказывается гомеоформным отрезку [0,1]. Этот факт имеет наглядное геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм f \colon [0,1] \to \overline{\mathbb{R}} задается формулой


f(x) = \operatorname{tg} \left( \pi x - \frac{\pi}{2} \right)

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.