Рациональная тригонометрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рациональная тригонометрия это переформулировка планиметрии и стереометрии (которая также включает в себя тригонометрию), предложенная Норманом Дж. Вайлдбергер(Norman J. Wildberger), ассоциированным профессором в Университета Нового Южного Уэльса(UNSW), описанная в его книге "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry", которая была опубликована в 2005 году. По мнению журналу New Scientist, мотивация автора использовать альтернативу классической тригонометрии, была избежать некоторые сложности, которые появляются при использовании бесконечные ряды используемые в математики. Рациональная геометрия помогает избежать использование трансцендентных функций таких как синус и косинус, заменой квадратом их значений.[1] Вайлдбергер черпает вдохновение математиков, предшествующих теории бесконечных множеств Георга Кантора, таких как Гаусс и Евклид. Как утверждает автор, они были гораздо более осторожны в использовании бесконечных множеств, чем современные математики.[1][2] На сегодня, рациональная геометрия никак не указана в современной математической литературе. Ранние заявления автора, о том что рациональная геометрия требуют меньшее количество шагов для решения стандартных задач и помогает избежать логические противоречия связанные с классической геометрией, были предметом спора, по крайней мере, одного другого математика. [3] (см. # Важность и критика ниже.)

Подход[править | править вики-текст]

Рациональная геометрия применяет подход, построенный на методах линейной алгебры, для курса элементарной геометрии(уровень средней школы). В этой теории вместо расстояния используется значение квадрата расстояния(квадранс) и 'угол' заменяется квадратом значения синуса данного угла(разворот). (Разворот также соответствует масштабной форме скалярного произведения между линиями, принятых в качестве векторов). Три основные теоремы в тригонометрии: теорема Пифагора, теорема синусов и теорема косинусов, приведенные в рациональную (квадратную) форму, дополнены ещё двумя законами: формула утроенного квадрата(связывающая квадрансы трех коллинеарных точек) и тройная формула разворота (связывающая развороты трех пересекающихся в одной точке линий), давая пять основных законов предмета.[источник?]

Рациональная геометрия по иному основана на декартовой аналитической геометрии, с точками определенными как упорядоченные пары рациональных чисел.

(x,y)

и 'линия

ax + by + c = 0,

как основное линейное уравнение с рациональными коэффициентами a, b и c.

Избегая расчеты, которые требуют извлечения квадратного корня, дающих только примерное расстояние между точками, либо стандартные тригонометрические функции (и их обратные), дающие всего лишь не полное полиномиальное разложение углов (или их проекций) геометрия по сути становится алгеброй. Здесь не предполагается существование решения с вещественными числами, с результатом вместо заданных над полем рациональных чисел, их расширения полем алгебраических, или конечным полем. Следуя вышесказанному, это делает возможным применять множество теорем евклидовой геометрии в рациональной форме (как квадратный аналог) над любым полем которое не является характеристикой.[источник?]

В книга Рациональная тригонометрия показаны примеры вычисления с использованием функций рациональной тригонометрии, включая вычисления в стереометрии. Она также применима к случаям, включая, иррациональные, такие как, доказательство того, что все Платоновы тела имеют рациональный "разворот" между их гранями. [4]

Квадрансы[править | править вики-текст]

Квадранс (и расстояние как его корень квадратный) также и измерение точек в Евклидовом пространстве.[5] Из теоремы Пифагора, квадранс двух точек A_1=(x_1,y_1) и A_2=(x_2,y_2) в плоскости, следовательно определяется как сумма квадратов разностей координат x и y:

Q(A_1, A_2) = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.\,

В отличие от векторного сложения расстояний с сегментами, складывая квадрансы двух векторов, для получения их результирующей величины, всегда получается третья сторона треугольника который они образуют, даже в случае коллинеарных сегментов (вырожденный треугольник), где тот же расчет сделанный с расстоянием векторов становится проще. По сути, неравенство треугольника в условиях Рациональной Тригонометрии эквивалентен теореме Пифагора.

Разворот[править | править вики-текст]

Пусть  1 и  2 пересекают точку A. Пусть C основание перпендикуляра из B на  2. Тогда разворот s = Q/R.

Разворот дает единую меру разделения двух линий как единственное безразмерное число в диапазоне [0,1] (от параллельной до перпендикулярной) для евклидовой геометрии. Разворот заменяет понятие угла но немного отличается от него, обсуждаемое ниже. Разворот может иметь несколько толкований.

  • Тригонометрическое (наиболее простое): это синус-отношение квадрансов в правильном треугольнике и следовательно эквивалентно площади синуса угла.[5]
  • Векторное: как рациональная функция направлений (практически, склоны) пары линий где они соединяются.
  • Декартово: как рациональная функция трех координат используемых для описания двух векторов.
  • Линейная алгебра (от скалярного произведения) нормализованная рациональная функция: квадрат определителя двух векторов (или пара пересекающихся линий) разделенная произведением их квадрансов.

Вычислени разворота[править | править вики-текст]

  • Тригонометрическое

Предположим две линии,  1 и  2, пересекаются в точке A как показано справа. Выберем точку B ≠ A на  1 и пусть C основание перпендикуляра из B на  2. Тогда разворот s является

s(\ell_1, \ell_2) = \frac{Q(B, C)}{Q(A, B)} = \frac{Q}{R}.[5]
  • Вектор/склон (от двух переменных)

Подобно углу, разворот зависит только от относительного склона двух линий (постоянные члены опускаются) и разворот с линиями пересекающихся в одной точке не меняется. Так, данные две линии, описываемые уравнениями

a_1x + b_1y= \mathrm{constant} and a_2x + b_2y= \mathrm{constant}

мы можем переписать как две линии которые соединяются в точке (0,0) уравнениями

a_1x + b_1y= 0 и a_2x + b_2y= 0

В этом положении точка (-b_1,a_1) удовлетворяют первому уравнению и (-b_2,a_2) удовлетворяет второму и три точки (0,0),(-b_1,a_1) и (-b_2,a_2) полученный разворот даст три квадранса:

Q_1=(b_1^2+a_1^2),
Q_2=(b_2^2+a_2^2),
Q_3=(b_1- b_2)^2+(a_1-a_2)^2

cross law – см ниже – в терминах разворота:

1-s = \frac{(Q_1+Q_2-Q_3)^2}{4Q_1Q_2}.\,

которая принимает вид:

1-s=\frac{(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-(b_1-b_2)^2-(a_1-a_2)^2)^2}{4(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\,

Упрощая числитель, до: (2a_1a_2+2b_1b_2)^2, получаем:

1-s=\frac{(a_1a_2+b_1b_2)^2}{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\,

Далее, используя важную тождество Брахмагупта: (a_2b_1-a_1b_2)^2+(a_1a_2+b_1b_2)^2=(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2),

стандартное выражение для разворота в терминах склонов (или направлений) двух линий ствновится:

s = \frac{(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2}{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)}.\,
  • Декартово (трех переменных)

Заменяет (-b_1,a_1) с (x_1,y_1), (-b_2,a_2) с (x_2,y_2) и начало координат (0,0) (как точка пересечения двух линий) с (x_3,y_3) в предыдущем результате:

s = \frac{((y_1 - y_3) (x_2 - x_3) - (y_2 - y_3) (x_1 - x_3))^2}{((y_1 - y_3)^2 + (x_1 - x_3)^2)((y_2 - y_3)^2 + (x_2 - x_3)^2)}.\,

Разворот в сравнении с углом[править | править вики-текст]

Разворот двух линий может быть измерен в четырёх эквивалентных положений.

В отличии от угла, который может определить отношение между лучами исходящих из точки, по Угловая мера, и где пара линий могут быть определены четырьмя парами лучей, образуя четыре угла, 'разворот' является фундаментальной концепцией в рациональной тригонометрии, описывая две линии как единое измерение рациональной функции (см выше).[5] Будучи эквивалентом квадрату синуса, разворот угла и его дополнительный угол равны.

Градус Радиан Разворот
0 0 0
30 (1/6)π 1/4
45 (1/4)π 1/2
60 (1/3)π 3/4
90 (1/2)π 1
120 (2/3)π 3/4
135 (3/4)π 1/2
150 (5/6)π 1/4
180 π 0

Разворот не пропорционален, однако, расстоянию между линий как угол; с разворотами 0, 1/4, 1/2, 3/4, и 1 соответствующих неравномерно распределенных разворотов углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов.

Вместо этого, (вспоминая дополнительное свойство) два равные, внешние развороты определяют третий, значение которого и будет решение тройной формулы разворота для треугольника (или трёх пересекающихся в одной точке линий) с разворотами s, s и r:

(2s + r)^2 = 2(2s^2 + r^2) + 4s^2r
4s^2 + 4sr + r^2 = 4s^2 + 2r^2 + 4s^2r

данный квадратный трехчлен (в s):

r^2 + 4s^2r - 4sr = 0
r^2 - 4s(1-s)r = 0

и решения

r = 0 (тривиально) или
r = 4s(1-s)

Это эквивалентно тригонометрическому тождеству:

\sin^2 2\theta=4\sin^2\theta(1-\sin^2\theta)

углам треугольника \theta,\theta и 2\theta, используя

S_2(s)=S_2(\sin^2\theta)=\sin^2(2\theta)=r(s)

Для обозначения второго полином разворота в s.

Утроенные развороты также включают треугольник (или три пересекающиеся в одной точке линии) с одним разворотом r (предыдущее решение), один разворот s и получая третий полином разворота, t в s. Получаем:

S_3(s)=s(3-4s)^2=t(s)

Дальнейшее кратные любого простого разворота линий могут быть получены продолжением этого процесса, используя тройную формулу разворота.

Каждая кратная разворота, который является рациональной, таким образом будет рациональной, но обратное не верно. К примеру, по формуле половинного угла, две линии пересекающиеся под углом 15° (или 165°) имеют разворот:

\sin^2 (30^\circ/2)=(1-\cos 30^\circ)/2=(1 - \sqrt{3}/2)/2=(2-\sqrt{3})/4 \approx 0.0667.

и таким образом существует по алгебраическому расширению рациональных чисел.

Полиномы разворотов[править | править вики-текст]

Как мы видели для двойного и тройного разворота, n-й кратная любого разворота, s дает полином в этом распределении, обозначенная S_n(s), как одно решение тройной формулы разворота.

Говоря простым языком аркфункции, эти n-ой степени полиномы разворотов, для n = 0, 1, 2, ..., могут быть охарактеризованы тождеством:[источник?]

\sin^2(n\theta) = S_n(\sin^2\theta).\,

Тождества[править | править вики-текст]

Явные формулы[править | править вики-текст]

S_n(s) = s\sum_{k=0}^{n-1} {n \over n - k} {2n-1-k \choose k} (-4s)^{n-1-k}. (S. Goh)[источник?]
S_n(s) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \left ( 1-2s+2 \sqrt {s^2 -s} \right )^{n} - \frac{1}{4} \left ( 1-2s-2 \sqrt {s^2 -s} \right )^{n}. (M. Hovdan)
S_n(s) = - \frac{1}{4} \left ( \left ( \sqrt {1 -s} +i\sqrt {s}   \right )^{2n}-1 \right )^{2}\left ( \sqrt {1 -s} -i\sqrt {s}   \right )^{2n}. (M. Hovdan)

Из определения сразу следует

S_n(s) = \sin^2\left(n\arcsin\left(\sqrt{s}\right)\right). [источник?]

Рекурсивная формула[править | править вики-текст]

S_{n+1}(s) = 2(1-2s) S_n(s) - S_{n-1}(s) + 2s.\, [источник?]

Связь с полиномами Чебышева[править | править вики-текст]

Полиномы разворотов связанные с Полиномами Чебышева первого рода, Tn тождеством

1 - 2S_n(s) = T_n(1 - 2s).\,

Это означает

S_n(s) = {1 - T_n(1 - 2s) \over 2} = 1 - T_n\left(\sqrt{1-s}\right)^2.

Второе равенство выше следует из тождества

2T_n(x)^2 - 1  = T_{2n}(x) \,

по полиномам Чебышева. [источник?]

Структура[править | править вики-текст]

Полиномы разворотов соответствуют структуре тождества

S_n(S_m(s)) = S_{nm}(s).\, [источник?]

Коэффициенты в ограниченном поле[править | править вики-текст]

Когда коэффициенты взяты из ограниченного поля Fp, тогда последовательность { Sn }n = 0, 1, 2, ... разворотов полиномов является периодической с периодом (p2 − 1)/2. Другими словами, если k = (p2 − 1)/2, тогда Sn + k = Sn, для всех n. [источник?]

Ортогональность[править | править вики-текст]

Когда коэффициенты взяты из вещественных чисел вещественное число, тогда для n ≠ m, мы имеем

\int_0^1 \left(S_n(s) - {1 \over 2}\right) \left(S_m(s) - {1 \over 2}\right){ds \over \sqrt{s(1-s)}}=0. [источник?]

Для n = m, интеграл будет π/8 кроме n = m = 0, в этом случае π/4. [источник?]

Генетрисы[править | править вики-текст]

Обычной генетриса является

\sum_{n=1}^\infty S_n(s)x^n = {sx(1+x) \over (1-x)^3 + 4sx(1-x)}. [источник?]

Экспоненциальной генетрисой

\sum_{n=1}^\infty {S_n(s)\over n!} x^n = {1 \over 2} e^x \left [ 1-e^{-2sx} \cos\left (2x \sqrt{s(1-s)}\right )\right ] . [источник?]

Дифференциальное уравнение[править | править вики-текст]

Sn(s) соответствует линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

s(1-s)y'' + (1/2-s)y' + n^2(y-1/2) = 0.\, [источник?]

Теорема периодичности разворота[править | править вики-текст]

Для любого целого s и любого простое число p, есть натуральное число m такое что Sn(s) делится на p нацело когда m делится на n. Это число m является делителем либо p − 1 либо p + 1. Доказательство этих теоретических свойств впервые было дано в статье Shuxiang Goh and N. J. Wildberger.[6] Она включает в себя рассматриваемый проективный аналог Рациональной тригонометрии в ограниченной проективной линии P1(Fp).

Таблица полиномиальных разворотов, с факторизацией[править | править вики-текст]

Первые несколько полиномиальных разворотов:


\begin{align}
S_0(s) & = 0 \\[10pt]
S_1(s) & = s \\[10pt]
S_2(s) & = 4s-4s^2 \\
& = 4s(1-s) \\[10pt]
S_3(s) & = 9s-24s^2+16s^3 \\
& = s(3-4s)^2 \\[10pt]
S_4(s) & = 16s-80s^2+128s^3-64s^4 \\
& = 16s(1-s)(1-2s)^2 \\[10pt]
S_5(s) & = 25s-200s^2+560s^3-640s^4+256s^5 \\
& = s(5-20s+16s^2)^2 \\[10pt]
S_6(s) & = 36s-420s^2+1792s^3-3456s^4+3072s^5-1024s^6 \\
& = 4s(1-s)(1-4s)^2(3-4s)^2 \\[10pt]
S_7(s) & = 49s-784s^2+4704s^3-13440s^4+19712s^5-14336s^6+4096s^7 \\
& = s(7-56s+112s^2-64s^3)^2 \\[10pt]
S_8(s) & = 64s-1344s^2+10752s^3-42240s^4+90112s^5-106496s^6 \\
& {} \qquad + 65536s^7-16384s^8 \\
& = 64s(s-1)(1-2s)^2(1-8s+8s^2)^2 \\[10pt]
S_9(s) & = 81s - 2160s^2 + 22176s^3 - 114048s^4 + 329472s^5 - 559104s^6 \\
& {} \qquad + 552960s^7 - 294912s^8 + 65536s^9 \\
& = s(-3+4s)^2(-3+36s-96s^2+64s^3)^2 \\[10pt]
S_{10}(s) & = 100s - 3300s^2 + 42240s^3 - 274560s^4 + 1025024s^5 \\
{} & \qquad - 2329600s^6 + 3276800s^7 - 2785280s^8 + 1310720s^9 - 262144s^{10} \\
& = 4s(1-s)(5 - 20s+16s^2)^2(1-12s+16s^2)^2\\[10pt]
S_{11}(s) & = 121s - 4840s^2 + 75504s^3 - 604032s^4 + 2818816s^5 \\
{} & \qquad -8200192s^6 + 15319040s^7 - 18382848s^8 + 13697024s^9 -5767168s^{10} + 1048576s^{11}\\
& = s(11 -220s + 1232s^2 -2816s^3 +2816s^4 -1024s^5)^2
\end{align}

Законы рациональной тригонометрии[править | править вики-текст]

Вайлдбергер утверждает что существует пять основных законов в рациональной тригонометрии. Он также утверждает, и правильно, что эти законы могут быть проверены математикой высшей школы. Некоторые эквиваленты стандартной тригонометрической формуле с переменными как квадрансы и развороты.[5]

В следующих пяти формулах, мы имеем треугольник построенный на трех точках A1A2A3, . Развороты углов в этих точках s1s2s3, , и Q1Q2Q3, являются квадрансами треугольника противоположных сторон A1A2, и A3, соответственно. Как и в классической тригонометрии, если нам известны три из шести элементов s1s2s3, , Q1Q2Q3, и они не являются тремя s, тогда мы можем вычислить остальные три.

Формула утроенного квадрата[править | править вики-текст]

Три точки A1A2A3коллинеарны тогда и только тогда:

(Q_1 + Q_2 + Q_3)^2 = 2(Q_1^2 + Q_2^2 + Q_3^2).\,

Это также может быть доказано с помощью аналитической геометрии (преимущественно посредством рациональной геометрии) или полученной формулой Герона, пользуясь условием коллинеарности, что треугольник, образованный тремя точками имеет нулевую площадь.

Теорема Пифагора[править | править вики-текст]

Линии A1A3 (квадранса Q1) и A2A3 (квадранса Q2) перпендикулярны (их разворот равен 1) тогда и только тогда:

Q_1 + Q_2 = Q_3.\,

где Q3 квадранс между A1 и A2.

Это эквивалентно Теореме Пифагора (обратная теорема Пифагора).

Существует много классических доказательств теоремы Пифагора; это оформлена в терминах рациональной тригонометрии.

Разворот угла это квадрат синуса. Данный треугольник ABC с разворотом 1, между сторонами AB и AC,

Q(AB) + Q(AC) = Q(BC)\,

где Q "квадранс", т.е. квадрат расстояния.

Теорема разворотов[править | править вики-текст]

Для любого треугольника \overline{A_{1} A_{2} A_{3}} с ненулевым квадрансом:

\frac{s_{1}}{Q_{1}}=\frac{s_{2}}{Q_{2}}=\frac{s_{3}}{Q_{3}}.\,

Это теоремы синусов, только в квадрате.

Теорема квадрансов[править | править вики-текст]

Для любого треугольника \overline{A_{1} A_{2} A_{3}},

(Q_1 + Q_2 - Q_3)^2 = 4Q_1 Q_2 (1-s_3).\,

Этот аналог теоремы косинусов.


Утроенная формула разворота[править | править вики-текст]

Для любого треугольника \overline{A_1 A_2 A_3},

(s_1 + s_2 + s_3)^2 = 2(s_1^2 + s_2^2 + s_3^2) + 4s_1 s_ 2 s_ 3 .\,

Это связь может получена из формулы синуса суммы углов: в треугольнике (сумма трех углов, которого, равна 180°) мы имеем,

\sin (a)=\sin (b+c)=\sin (b)\cos (c) + \sin (c)\cos (b).

Это равносильно тому, что описывает связь между разворотами трех пересекающихся линий, как разворот (подобно углу) остается неизмененным, когда стороны треугольника перемещаются параллельным переносом в общую точку пересечения.

Зная два разворота можно вычислить третий, путем решения связанных с ними квадратурной формулой, но из-за того что возможны два решения, в дальнейшем будет использовано правило разворота треугольника для выбора подходящего. (Относительная сложность этого процесса отличается от намного более простого метода получения дополнительный угол двух других.)

Тригонометрия над произвольным полем[править | править вики-текст]

Подобно законам рациональной тригонометрии, дают алгебраическую (но не трансцендентную) связь, в обобщении они применимы к полю алгебраических чисел за пределами рациональных. В частности, любое ограниченное поле, которое не имеет характеристик воспроизводит форму этих законов, и таким образом ограниченное поле геометрии.[7](недоступная ссылка) 'Плоскость' образованная конечным полем F_p является декартовым произведением F_p\times F_p всех упорядоченных пар элементов поля, противоположных границами определив образованную плоскость дискретных торов. Отдельные элементы соответствуют стандартным 'точкам' тогда как 'линии' являются множеством не более чем p точек связанных наклоном (изначальная точка) в положительном направление.

Пример: (проверка закона разворота в F13)[править | править вики-текст]

Рисунок справа показывает треугольник трех таких линий в ограниченном поле F13 × F13:

Каждая линия имеет свой символ и пересечения линий (вершины) помеченные двумя символами рядом с точкой:

Треугольник проходящий через точки (2, 8), (9, 9), и (10, 0) на ограниченном поле-плоскость F13 × F13.
(2,8), (9,9) и (10,0).

Используя теорему Пифагора с арифметическим модулем 13, мы на найдем квадрансы этих сторон:

(9 − 2)2 + (9 − 8)2 = 50 ≡ 11 mod 13
(9 − 10)2 + (9 − 0)2 = 82 ≡ 4 mod 13
(10 − 2)2 + (0 − 8)2 = 128 ≡ 11 mod 13

Применяя Теорему квадрансов (смотрите выше) получаем отдельные выражения для каждого разворота, в терминах трех квадрансов:

1 − (4 + 11 − 11)2/(4.4.11) = 1 − 3/7 ≡ 8 mod 13
1 − (11 + 11 − 4)2/(4.11.11) = 1 − 12/3 ≡ 10 mod 13
1 − (4 + 11 − 11)2/(4.4.11) = 1 − 3/7 ≡ 8 mod 13

В свою очередь отметим что эти отношения все равны – как для закона разворота (по крайней мере по модулю 13):

8/11 : 10/4 : 8/11

Поскольку первые и последние отношения соответствуют (делая треугольник равнобедренным) мы всего лишь перемножаем, и берем разность, чтобы показать, также, равенство с средним отношением:

(11)(10) − (8)(4) ≡ 78 (0 mod 13)

Иначе, стандартная Евклидова плоскость содержащая только рациональные точки, \Q\times\Q, не включает любые не алгебраические числа в качестве решения. Свойства подобные наклону объекта, представляют собой решения или 'суть' теорем геометрии.

Вычисления – сложность и эффективность[править | править вики-текст]

Рациональная тригонометрия делает, практически все задачи, решаемыми только операциями сложения, вычитания, умножения и деления, так как тригонометрические функции (угла) не используют тригонометрические отношения в квадратной форме.[5] По крайней мере, следовательно, результат расстояния (или угла) может быть приблизительно вычислен из точного значения рационального эквивалента квадранса(или разворота) после проделанных простых операций. Чтобы извлечь пользу из этого, однако, каждая задача должна быть дана в терминах квадрансов или разворотов, которые требуют дополнительную работу.[8]

Законы рациональной тригонометрии, являясь алгебраическими и 'точно вычислимыми', вносят тонкости в решение задач, такие как не аддитивность квадрансов пересекющихся точек (в случае формулы утроенного квадрата) или разворота пересекающихся линий (в случае формула утроенного разворота) отсутствующей в классическом предмете, где измерения расстояния или круговое измерение угла линейны, хотя 'трансцендентная', требует приближения результата. Дополнительная сложность также введенная нуждой иметь 'правила' для обработки двух решений которые порождены квадратными соотношениями.

Значимость и Критика[править | править вики-текст]

Рациональная тригонометрия указана только скромном количестве математических публикаций, помимо статей и книги Вайлдбергерга. Книга Divine Proportions была рецензирована Paul J. Campbell, написав в Математическом журнале: "автор утверждает что эта новая теория потребует 'менее половины времени на изучения'; но я сомневаюсь в этом, и она по прежнему будет связана с традиционными концепциями и обозначениями." Рецензент, William Barker, профессор математики в Bowdoin College, также пишущие для MAA, был более одобрителен: "Divine Proportions несомненно является ценным дополнением к математической литературе. Она аккуратно развивает мышление, ум, и полезный альтернативный подход к тригонометрии и Евклидовой геометрии. Это не было бы удивительно если некоторые его методы в конечно счете просочатся в стандартное развитие этих предметов. Однако, пока нет неожиданных сдвигов во взглядах основ математики, нет веских оснований для того чтобы заменить классическую теорию рациональной тригонометрией " [9] Gefter из журнала New Scientist описала подход Вайлдбергерга как пример финитизама.[1] A glowing review by Arlinghaus raises doubts as to the possibility of penetrating rigid institutional frameworks.[10]

Анализ математиком Майколом Гилсдорфом примера тех же тригонометрических задач использованных автором в статьях ранее, нашел утверждение что рациональная тригонометрия требует меньше шагов для решения основной части задач в сравнении к классическим методам может быть неправдой, если доступен свободный выбор классических методов для оптимального решения для данной проблемы; подобно использованию формулы векторного произведения для нахождения площади из координат их вершин, либо напрямую применяя теорему Стюарта (и в отдельных случаях) к медиане треугольника. Что касается педагогики, и квадратичной меры введенные рациональной тригонометрией предлагают реальное преимущество перед техникой традиционного преподавания и изучения предмета, анализ дает дальнейшее наблюдение что классическая тригонометрия не основана на использовании рядов Тейлора к приближенным углам, а больше на измерении ' хорд' (синус двойного угла), так с правильным пониманием студентов возможно получить пользу от дальнейшего использования линейного измерения без заявленных логических несоответствий когда круговая параметризация углов последовательно представлена.[3]

Смотрите также[править | править вики-текст]

Заметки[править | править вики-текст]

References[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 "Infinity's end: Time to ditch the never-ending story?" by Amanda Gefter, New Scientist, 15 August 2013
  2. For Wildberger's views on the history of infinity, see the Gefter New Scientist article, but also see Wildberger's History of Mathematics and Math Foundations lectures, University of New South Wales, circa 209/2010, available online @youtube
  3. 1 2 http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/TrigComparison.pdf
  4. См Рациональная тригонометрия для примеров вычислений сделанных с помощью функций Рациональной тригонометрией, а также проблемы применения Рациональной тригонометрии к ситуациям содержащих иррациональные
  5. 1 2 3 4 5 6 Wildberger, Norman J. (2007). «A Rational Approach to Trigonometry». Math Horizons (Mathematical Association of America) November 2007: 16–20. ISSN 1072-4117.
  6. Shuxiang Goh, N. J. Wildberger (November 5, 2009). «Spread polynomials, rotations and the butterfly effect».
  7. Le Anh Vinh, Dang Phuong Dung (July 17, 2008). «Explicit tough Ramsey graphs»., page 1. Another version of this article is at Le Anh Vinh, Dang Phuong Dung (2008), "Explicit tough Ramsey Graphs", Proceedings of International Conference on Relations, Orders and Graphs: Interaction with Computer Science 2008, Nouha Editions, 139–146.(недоступная ссылка)
  8. Olga Kosheleva (2008), "Rational trigonometry: computational viewpoint", Geombinatorics, Vol. 1, No. 1, pp. 18–25.
  9. Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry | Mathematical Association of America
  10. See http://141.213.232.243/handle/2027.42/60314

External links[править | править вики-текст]