Многогранник

Додекаэдр

Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда также называют тело, ограниченное этой поверхностью.

Определение

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве такая, что:

1. каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
2. связность: от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Простейшими примерами многогранников являются выпуклые многогранники, то есть граница ограниченного подмножества евклидова пространства являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Варианты значения

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

• Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
• Части плоскости, ограниченные ломаными.

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела.

Связанные определения

• Многогранник с $n$ гранями называют $n$-гранник.
  • В частности, тетраэдр это пример четырёхгранника, додекаэдр — двенадцатигранник, икосаэдр — двадцатигранник и т.д.

Выпуклый многогранник

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости его граней.

Вариации и обобщения

• Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности, и обычно называется n-мерный многогранник.
• Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер
• Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
• Сферический многогранник.

См. также

• Двойственный многогранник
• Изгибаемый многогранник
• Перестановочный многогранник
• Политоп
• Полуправильный многогранник
• Правильный многогранник
• Теорема Коши о многогранниках
• Теорема Минковского о многогранниках
• Теорема Александрова о выпуклых многогранниках
• Теорема Линделёфа о многограннике наименьшей площади при заданном объёме
• Многогранник Джонсона

Ссылки

• Тиморин В.А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0
• Веннинджер Магнус. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — С. 236. (рус.)
• Гончар В.В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — С. 64. — ISBN 5-85399-032-2 (рус.)
• Гончар В.В. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — С. 143. — ISBN 978-5-222-17061-8 (рус.)
• Многогранники Волшебные грани - наборы для сборки моделей многогранников. — Москва: Многогранники, 2012. — С. 20. (рус.)