Регулярное локальное кольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В коммутативной алгебре регулярным локальным кольцом называется нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка x алгебраического многообразия X является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо \mathcal{O}_{X, x} ростков рациональных функций в точке x регулярно.

Эквивалентные определения[править | править исходный текст]

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если A — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом \mathfrak m, следующие определения эквивалентны:

  • Пусть \mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n) где n выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). A регулярно, если
\mbox{dim } A = n.
  • Пусть k = A / \mathfrak{m} — поле вычетов кольца A. Тогда A регулярно, если
\dim_k \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 = \dim A\,,
Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.
\mbox{gl dim } A < \infty\,,
в этом случае \mbox{gl dim } A всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
  • Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дикретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов k[[x]] (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
  • Более общо, кольцо формальных степенных рядов k[[x1, x2, …, xd]] — регулярное локальное кольцо размерности d.
  • Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов A[x] и кольцо формальных степенных рядов A[[x]] регулярны.
  • Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например, \mathbb Z[x]_{(2,x)} — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
  • Пополнение[en] регулярного кольца регулярно.

Свойства[править | править исходный текст]

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если (A, \mathfrak{m}) — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]],

где k = A / \mathfrak{m}, а d — размерность Крулля.

Происхождение основных определений[править | править исходный текст]

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году,[1] однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского,[2][3] который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f1,…,fm. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂fi/∂xj)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Krull, Wolfgang (1937), "«Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III»", Math. Z.: 745–766 
  2. Zariski, Oscar (1940), "«Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0»", Amer. J. Math. Т. 62: 187–221 
  3. Zariski, Oscar (1947), "«The concept of a simple point of an abstract algebraic variety»", Trans. Amer. Math. Soc. Т. 62: 1–52 

Литература[править | править исходный текст]