Резольвента (гомологическая алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащая для вычисления функторов Ext и Tor.

Проективная резольвента[править | править вики-текст]

Компле́ксом (X, ε) над R-модулем C называется последовательность

\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2}}{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0   (*)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все X свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна, то есть все гомологии Hn(X) = ker dn/im dn+1 = 0 при n > 0 и H0(X) = ker d0/im d1 = X0/im d1 = X0/ker ε изоморфна C (считая d0 : X0 → 0), то данный комплекс называется резольвентой R. Так как любой модуль C является фактормодулем свободного, то любой модуль C можно включить в некоторую свободную (и, тем более, проективную) резольвенту.

Наименьший индекс k, такой что все Xn при n > k нулевые, называется длиной резольвенты. Проективная размерность модуля — это наименьшая длина его проективной резольвенты. Например, проективный модуль — это в точности модуль проективной размерности 0.

Функторы Extn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а ε : XC — любая проективная резольвента C, то Extn(C, A) изоморфен группе когомологий Hn(X, A) = Hn(HomR(X, A)). Функторы Torn находятся согласно следующей теореме: Если C и AR-модули, а ε : XC — любая проективная резольвента C, то Torn(C, A) изоморфен группе гомологий Hn(X  ⊗RA).

Инъективная резольвента[править | править вики-текст]

Комплексом (Y, ε) под R-модулем A называется последовательность:

0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}}{\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1}{\longrightarrow}~\cdots   (**)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Y инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии Hn(Y) = ker δn+1/im δn = 0 при n > 0 и H0(Y) = ker δ1/im δ0 = ker δ1 = im ε изоморфна A (считая δ0 : 0 → Y0), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль A является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту.

Функторы Extn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R-модули, а ε : AY — любая инъективная резольвента A, то Extn(C, A) изоморфен группе когомологий Hn(HomR(C, Y)).

Литература[править | править вики-текст]

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М: ИЛ, 1960
  • Маклейн С. Гомология. — М: Мир, 1966