Резольвента (гомологическая алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащая для вычисления функторов Ext и Tor.

Проективная резольвента[править | править исходный текст]

Компле́ксом (X,ε) над R-модулем C называется последовательность


...~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~...~\stackrel{d_{2}}{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0 ~~~~~ (*)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все X свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна, то есть все гомологии Hn(X)= Ker dn/Im dn+1=0 при n>0 и H0(X)=Ker d0/Im d1= X0/Im d1=X0/Ker ε изоморфна C (считая d0:X0→0), то данный комплекс называется резольвентой R. Так как любой модуль C является фактормодулем свободного, любой модуль C можно включить в некоторую свободную (и, тем более, проективную) резольвенту.

Наименьший индекс k, такой что все Xn при n > k нулевые, называется длиной резольвенты. Проективная размерность модуля — это наименьшая длина его проективной резольвенты. Например, проективный модуль — это в точности модуль проективной размерности 0.

Функторы Extn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:X→C — любая проективная резольвента C, то Extn(C,A) изоморфен группе когомологий Hn(X,A)=Hn(HomR(X,A))

Функторы Torn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:X→C — любая проективная резольвента C, то Torn(C,A) изоморфен группе гомологий Hn(XÄRA)

Инъективная резольвента[править | править исходный текст]

Комплексом (Y,ε) под R-модулем A называется последовательность:

0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}}{\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1}{\longrightarrow}~...~~~~~ (**)

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Y инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии Hn(Y)= Ker δn+1/Im δn=0 при n>0 и H0(Y)= Ker δ1/Im δ0= Ker δ1=Im ε изоморфна A (считая δ0:0→Y0), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль A является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту.

Функторы Extn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:A→Y — любая инъективная резольвента A, то Extn(C,A) изоморфен группе когомологий Hn(HomR(C,Y)).

Литература[править | править исходный текст]

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра -М: ИЛ, 1960
  • Маклейн С. Гомология. -М: Мир, 1966