Результант

В математике, результантом двух многочленов $P$ и $Q$ над некоторым полем $\Bbb K$, старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,$

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля $\Bbb K$ с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов $P$ и $Q$ (лежащих, быть может, вне поля $\Bbb K$), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов $P$ и $Q$. Для многочленов, старшие коэффициенты которых ($p$ и $q$ соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

$p^{\deg Q} q^{\deg P}.$

Свойства и способы вычисления

• Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов $P$ и $Q$, равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов $P$ и $Q$ имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля $\Bbb K$).
• Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
• Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
• Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики ноль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x).$

Ссылки

• Статья Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайте «MathWorld».