Результант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, результантом двух многочленов P и Q над некоторым полем \Bbb K, старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля \Bbb K с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов P и Q (лежащих, быть может, вне поля \Bbb K), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов P и Q. Для многочленов, старшие коэффициенты которых (p и q соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

p^{\deg Q} q^{\deg P}.

Свойства и способы вычисления[править | править вики-текст]

  • Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов P и Q, равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов P и Q имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля \Bbb K).
  • Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
  • Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
  • \mathrm{res}(P_1P_2,Q) = \mathrm{res}(P_1,Q)\mathrm{res}(P_2,Q)
  • \mathrm{res}(P,\operatorname{const}) = \operatorname{const}^{\deg P}
  • \mathrm{res}(AP(x),BQ(x)) = A^mD^n\mathrm{res}(P(x),Q(x))
  • Если A,C\neq 0, \deg (AP(x)+BQ(x))=\deg (CP(x)+DQ(x))=n \geqslant 1, то
\mathrm{res}(AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x)) = (AD-BC)^n\mathrm{res}(P(x),Q(x))
  • \mathrm{res}(P,Q) = 0 \Leftrightarrow \deg\gcd(P,Q)\geqslant 1, т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
  • Для многочленов P(x),Q(x) существуют многочлены U(x),V(x) с \deg{U}\leqslant \deg{P}-1,\deg{V}\leqslant \deg{Q}-1 такие, что
\mathrm{res}(P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x). Многочлены U(x),V(x) с m=\deg U,n=\deg V могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменен на (x^m,...,x,1,0,...,0)^T для U(x) или на (0,...,0,x^n,...,x,1)^T для V(x).
  • Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики нуль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):
\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x).

Литература[править | править вики-текст]

  • Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. — СПбГУ, НИИ химии, 2002.

Ссылки[править | править вики-текст]