Релятивистская механика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Общие принципы[править | править вики-текст]

В классической механике пространственные координаты и время являются независимыми (при отсутствии голономных связей, зависящих от времени), время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта, и действуют преобразования Галилея. В релятивистской же механике события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса — являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Второй закон Ньютона в релятивистской механике[править | править вики-текст]

Сила определяется как \vec F= \frac {d\vec p}{dt}, также известно выражение для релятивистского импульса:

\vec p = \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}.

Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:

\frac {d\vec {p}}{dt}=m\gamma\vec a +m\gamma^3\vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ),

где введены обозначения: \vec{\beta}\equiv \frac {\vec{v}}{c} и \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.

В результате выражение для силы приобретает вид:

\vec F= m\gamma\vec a +m\gamma^3 \vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ).

Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике[править | править вики-текст]

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds, где \alpha-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt, подставляя в интеграл движения, находим: S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c  \sqrt{1-v^2/c^2}dt. Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt. Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:

\mathcal{L}=-  \alpha c  \sqrt{1-v^2/c^2}.

Далее, разложим последнее выражение по степеням \frac{v}{c}, получим:

\mathcal{L}\simeq \alpha c  + \frac{\alpha v^2}{2c}, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа:  \frac{m v^2}{2}, нетрудно определить константу \alpha:

\alpha = mc. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:

\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}.

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.

Релятивистская частица как неголономная система[править | править вики-текст]

Поскольку квадрат 4-вектора импульса P_{\alpha} является постоянной величиной:

 P_{\alpha} P^{\alpha} - m^2 c^2=0,

то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве[1][2][3].

Источники[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]