Решётка Лича

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Решётка Лича — специальная решётка в 24-мерном пространстве, реализующая в этой размерности максимально возможное[1][2] контактное число, а также в этой размерности доставляющая плотнейший из известных[3] способов упаковки шаров.

Она является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой, с длиной кратчайшего вектора, равной 2, а её контактное число равно[1][2] 196560.

Конструкция[править | править вики-текст]

Конструкция через код Голея[править | править вики-текст]

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея \mathcal{C} типа [24,12,8] как образ при сжатии в 2\sqrt{2} раз множества векторов (a_1,\dots,a_{24})\in \Z^{24}, таких, что


a_1+a_2+\cdots+a_{24}\equiv 4a_1\equiv 4a_2\equiv\cdots\equiv4a_{24}\pmod{8}

и для каждого класса j вычетов по модулю 4, двоичное 24-битовое слово v, заданное как


v_i=\begin{cases} 
1, & a_i \equiv j \mod 4,\\
0, & a_i \not\equiv j \mod 4,
\end{cases}

принадлежит \mathcal{C}.

Конструкция через лоренцево пространство сигнатуры (25,1)[править | править вики-текст]

Решётка Лича может быть построена с помощью лоренцева пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка \mathrm{II}_{25,1}\}, состоящая из векторов (x_0,\dots,x_{25}), у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом x_0+\dots+x_{24}-x_{25}\in 2\Z, иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор u=(0,1,\dots,24,70). Отметим, что в силу изотропности u\in \langle u\rangle^{\perp}, поэтому можно рассмотреть факторпространство \langle u\rangle^{\perp}/\langle u\rangle. Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности u) корректно определено, и оказывается положительно определённым. Образ (\langle u\rangle^{\perp}\cap \mathrm{II}_{25,1})/\langle u\rangle пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве.[4]


Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 «Контактное число шаров и сферические коды» — фильм из серии «Математические этюды»
  2. 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Аннотация курса В. В. Успенского Решетка Лича, или По направлению к Монстру
  4. J. H. Conway, N. J. A. Sloane, Sphere packings, lattices and groups, Chapter 26, Theorem 3(b), page 524.

Литература[править | править вики-текст]

  • Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.