Решётка (теория графов)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Граф решётки — это граф, рисунок которого, вложенный в некоторое евклидово пространство Rn, образует регулярную мозаику[en]. Это подразумевает, что группа биективных преобразований, переводящая граф в себя, является решёткой в теоретико-групповом смысле.

Обычно не делается явного различия между такими графами в более абстрактном смысле теории графов и рисунком в пространстве (часто на плоскости или трёхмерном пространстве). Этот тип графов можно коротко называть просто решёткой. Однако, тот же термин обычно используется для конечных частей бесконечных графов, как, например, "8×8 квадратная решётка".

Термин решётка в литературе даётся различным другим видам графов с некоторой регулярной структурой, таким как прямое произведение некоторого числа полных графов.[1]

Графы квадратной решётки[править | править вики-текст]

Общий вид графа решётки (известной под различными именами, такими как граф квадратной решётки) — это граф, вершины которого соответствуют точкам на плоскости с различными координатами, x-координатами из диапазона 1,..., n, y-координатами из диапазона 1,..., m, и вершины которого соединены ребром, если соответствующие точки находятся на расстоянии 1. Другими словами, это граф единичных расстояний для указанных точек.[2]

Свойства[править | править вики-текст]

Граф квадратной решётки — это прямое произведение графов, а именно двух путей с n - 1 и m - 1 рёбрами.[2] Поскольку путь — это медианный граф, то граф квадратной решётки является также медианным. Все графы решёток являются двудольными.

Путь тоже можно считать графом решётки n на 1. Граф решётки 2x2 — это 4-цикл.[2]

Другие виды[править | править вики-текст]

Граф треугольной решётки — это граф, соответствующий треугольной решётке. Граф Ханана для конечного множества точек на плоскости получается из решётки, полученной пересечением всех вертикальных и горизонтальных линий, проходящих через каждую точку множества.

Ладейный граф (граф, соответствующий всем допустимым ходам ладьи на шахматной доске), иногда также называется графом решётки.

Смотрите также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Weisstein, Eric W. Lattice graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 3 Weisstein, Eric W. Grid graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.