Решётка (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Решётка (теория множеств)»)
Перейти к: навигация, поиск

Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Примеры[править | править вики-текст]

  1. множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению; например: \sup\{ \{x\}, \{x,y\} \} = \{x,y\}, \inf\{ \{x\}, \{x,y\} \} = \{x\}, \sup\{ \{x\}, \{y,z\} \} = \{x,y,z\}, \inf\{ \{x\}, \{y,z\} \} = \emptyset;
  2. всякое линейно упорядоченное множество; причём если a\leqslant b, то \sup(a,b) = b, \inf(a,b) = a;
  3. множество всех подпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где \inf — пересечение, а \sup — сумма соответствующих подпространств;
  4. множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a\leqslant b, если b = ac для некоторого c. Здесь \sup — наименьшее общее кратное, а \inf — наибольший общий делитель данных чисел;
  5. вещественные функции, определённые на отрезке [0, 1], упорядоченные условием f\leqslant g, если f(t)\leqslant g(t) для всех t\in [0,1]. Здесь
\sup(f,g) = u, где u(t) =\max (f(t),g(t)).

Алгебраическое определение[править | править вики-текст]

Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются \vee и \wedge или + и ∙), удовлетворяющая следующим тождествам

  1. a\vee a = a
    a\wedge a = a (идемпотентность)
  2. a\vee b = b\vee a
    a\wedge b = b\wedge a (коммутативность)
  3. (a\vee b)\vee c = a\vee (b\vee c)
    (a\wedge b)\wedge c = a\wedge (b\wedge c) (ассоциативность)
  4. a\wedge(a\vee b) = a
    a\vee(a\wedge b) = a (поглощение).

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:

a\vee b = \sup(a,b),
a\wedge b = \inf(a,b),

и обратно. При этом для любых элементов a и b эквивалентны следующие утверждения:

a\leqslant b;
a\wedge b = a;
a\vee b = b.

Понятия изоморфизма решёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное изотонное отображение решётки R в решётку R' не обязано быть гомоморфизмом этих решёток как универсальных алгебр.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Подрешётка ― подмножество элементов решётки, замкнутое относительно операций + и \cdot

История[править | править вики-текст]

Появление понятия «решётка» относится к середине XIX века. Чётко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897 годов. Термин «lattice», переведённый как «структура», был введён Биркгофом в 1933 году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых решёток. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века. Наиболее важные классы решёток, кроме дедекиндовых, — это полные решётки, дистрибутивные решётки и булевы алгебры.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Доступные бесплатно в интернете монографии:

  • Burris, Stanley N., H.P. Sankappanavar A Course in Universal Algebra. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2.
  • Peter Jipsen, Henry Rose Varieties of Lattices — Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.

Элементарные тексты для обладающих малой математической культурой:

  • Thomas Donnellan Lattice Theory. — Pergamon, 1968.
  • G. Grätzer Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. — W. H. Freeman, 1971.

Обычные введения в предмет, несколько более сложные, чем указанный выше:

  • B.A. Davey, H. A. Priestley Introduction to Lattices and Order. — Cambridge University Press, 2002.

Продвинутые монографии:

  • Garrett Birkhoff Lattice Theory. — 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society, 1967.
  • Robert P. Dilworth, Peter Crawley Algebraic Theory of Lattices. — Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5.

О свободных решётках:

  • R. Freese, J. Jezek, J. B. Nation Free Lattices. — Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42. Mathematical Association of America, 1985.
  • P.T. Johnstone Stone spaces. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

Литература[править | править вики-текст]

  • Биркгоф Г. Теория структур. — пер. с англ., М., 1952;
  • Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970;
  • Житомирский Г. И. в сборнике: Упорядоченные множества и решётки. — в. 7, Саратов, 1981;
  • Гретцер Г. Общая теория решёток. — пер. с англ., М., 1982.