Росток (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Пусть задана точка x топологического пространства X и два отображения f,\;g:X\to Y в любое множество Y. Тогда говорят, что f и g задают один и тот же росток в x, если есть окрестность U точки x, такая что ограничение f и g на U совпадают. То есть,

f|_U=g|_U

(что означает \forall x'\in U,\;f(x')=g(x')).

Аналогично говорят о двух подмножества S,\;T\subset X: они определяют один и тот же росток в x, если существует окрестность U, такая что:

S\cap U=T\cap U.

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке x есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно f\sim_x g или S\sim_x T.

Росток данного отображения f в точке x обычно обозначают [f]_x. Аналогично, росток, задаваемый множеством S, обозначают [S]_x.

[f]_x=\{g:X\to Y\mid g\sim_x f\}.

Росток, отображающий точку x\in X в точку y\in Y пишут (X,\;x)\to(Y,\;y), таким образом f является целым классом эквивалентности отображений, и под f принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):

S\sim_x T\Longleftrightarrow\mathbf{1}_S\sim_x\mathbf{1}_T.

Литература[править | править исходный текст]

  • Мишачев Н.M., Элиашберг Я. М. Введение в h-принцип.