Ряды Эйзенштейна

Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Определение

Ряд Эйзенштейна $G_{2k}$ веса $2k$ — функция, определённая на верхней полуплоскости $\{Im(\tau)>0\}\subset \C$ и заданная как сумма ряда

$G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.$

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции переменной $\tau$.

Свойства

Модулярность

Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса $2k$: для любых целых $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ с $ad-bc=1$ имеем

$G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau).$

Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки $\Gamma=\langle 1,\tau \rangle$, продолжив его на всё пространство решёток:

$G_{2k}(\Gamma)=\sum_{z\in \Gamma\setminus \{0\} } z^{-2k}.$

Тогда $G_{2k}(\lambda \Gamma) = \lambda^{-2k} G_{2k}(\Gamma).$ Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса $\{\tau,1\}$ к базису $\{a\tau+b,c\tau+d\}$ той же решётки (что не изменяет значения $G_{2k}(\Gamma)$) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Представление модулярных форм

Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса $2m$) выражается как полином от $G_4$ и $G_6$:

$f=\sum_{4k+6l=2m} a_{k} G_4^k G_6^l.$

Связь с эллиптическими кривыми

$\wp$-функция Вейерштрасса эллиптической кривой $E=\C/\Gamma$ раскладывается в ряд Лорана в нуле как

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2}(\Gamma) z^{2k}.$

В частности, модулярные инварианты кривой E равны

$g_2 = 60 G_4, \quad g_3 = 140 G_6.$

Литература

• А. Вейль, Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1976), пер.с англ. Ю. И. Манина, М.: «Мир», 1978:
• Серр Ж.-П., Курс арифметики. М.: Мир, 1972.