Ряд Лиувилля — Неймана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.

Получение ряда[править | править исходный текст]

Будем искать решение уравнения Фредгольма

u(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)

методом последовательных приближений, положив u^{(0)}(x)=f(x):

u^{(p)}(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda(Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

u^{(p)}=\sum_{k=0}^p\lambda^k(K^kf)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots

Функции (K^pf)(x) называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на G:

\|K^pf\|_C=\|K(K^{p-1}f)\|_C\leqslant M\mathrm{mes}\,G\|K^{p-1}f\|_C\leqslant\ldots\leqslant (M\mathrm{mes}\,G)^p\|f\|_C,\quad p=0,\;1,\;\ldots,

где \mathrm{mes}\,G — мера множества G, а M=\max_G|K(x,\;y)|.

Из этой оценки следует, что ряд

\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),\quad x\in G,

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

\|f\|_C\sum_{k=0}^\infty|\lambda|^k(M\mathrm{mes}\,G)^k=\frac{\|f\|_C}{1-|\lambda|M\mathrm{mes}\,G},

сходящимся в круге |\lambda|<1/(M\mathrm{mes}\,G), поэтому при таких \lambda ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения u^{(p)}(x) при p\to\infty равномерно стремятся к искомой функции u(x).

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]