Самосогласованная функция

В математической оптимизации, самосогласованной функцией называют трижды-дифференцируемую выпуклую функцию $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, вторая и третья производные которой связаны неравенством:

$|f'''(x)| \leqslant 2 \left(f''(x)\right)^{3/2} \quad \forall x \in \mbox{dom }f.$

Многомерную функцию $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ называют самосогласованной, если одномерная функция $\phi(t) = f(x + ht)$ является самосогласованной для любых $x, h \in \mathbb{R}^n$.

Свойства

• Сумма самосогласованных функций является самосогласованной.
• Если $f(x)$ — самосогласованная функция, то самосогласованной является и функция $\alpha f(x)$ для любого действительного числа $\alpha \geqslant 1$.
• Композиция самосогласованной функции с аффинной является самосогласованной функцией.

Приложения

Существуют точные оценки глобальной сходимости метода Ньютона для самосогласованных функций.

Литература

• Boyd, Vandenberghe. Convex Optimization. § 9.6.
• Б. Т. Поляк. Метод Ньютона и его роль в оптимизации и вычислительной математике. Труды Института системного анализа Российской академии наук, 2006.