Санкт-Петербургский парадокс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Санкт-Петербургский парадокс (или Санкт-Петербургская лотерея) — парадокс, иллюстрирующий расхождение математического ожидания выигрыша с его «здравой» оценкой людьми.

Формулировка парадокса[править | править вики-текст]

Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 20 дукатов, при втором броске — 21 дукатов и так далее: при n-ном броске — 2n-1 дукатов. Другими словами, выигрыш возрастает от броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.

Вопрос: какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой?

Если найти математическое ожидание выигрыша игрока, то это бесконечность:

M=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots=
=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots=
=\infty \,.

Парадокс заключается в том, что хотя вычисленное значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша. В то же время, реальные игроки ощущают, что даже 25 единиц денег (дукатов) — слишком высокая цена для входа в игру.

Разрешения парадокса[править | править вики-текст]

Разрешение через ограничения реального мира[править | править вики-текст]

Приведём оценки для решений парадокса через ограничение количества игр и времени.

Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит некоторое n, равна (½)n. Пусть игрок может сыграть не более k игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит n, равна 1-\left(1-\frac{1}{2^n}\right)^k. Для больших n она приближённо равна k/2n.

Будем считать, что событие, имеющее вероятность меньше некоторого p, не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает log_2(k/p). При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:

1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4}+...+2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{n}{2}, где n=\log_2 \frac{k}{p}.

То есть, средний выигрыш равен \frac{1}{2} \log_2 \frac{k}{p}.

Например, для 1000 игр и p=10-6 получаем средний выигрыш около 15.

Разрешение через функцию полезности[править | править вики-текст]

Другой вариант разрешения — через функцию полезности денег. Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания (англ.).[источник не указан 1940 дней]

Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности: он хочет максимизировать \ln{\frac{X}{X_0}}, где X — выигрыш, а X_0 — вклад в игру. При этом в классической постановке парадокса мат. ожидание полезности становится конечным:

M \ln{\frac{X}{X_0}} = \sum_{i=1}^\infty \left(\ln\frac{2^i}{X_0}\right) 2^{-i} = \ln 4-\ln X_0.

Откуда легко получить справедливую стоимость игры: X_0=4.

Это решение можно усовершенствовать, рассматривая полезность выигрыша с точки зрения увеличения уже имеющегося капитала игрока w (миллиардеру прирост в $ 1000 не так желателен, как нищему), однако это лишь немного изменяет ответ.

При этом можно так изменить систему выплат, что и данное решение будет неприемлемо: для каждой неограниченной функции полезности существует такая последовательность выплат за выпадение орла на i-том шаге, что ожидаемая полезность тоже будет равна бесконечности.

Взвешенные вероятности[править | править вики-текст]

Сам Николай Бернулли предложил другую идею для разрешения парадокса. Он обратил внимание, что люди пренебрегут маловероятными событиями (де Монмор, 1713[1]). Поскольку в Санкт-Петербургском парадоксе лишь маловероятные события приносят высокие выигрыши, которые ведут к бесконечному значению математического ожидания выигрыша, это может помочь разрешить парадокс.

Идея взвешенных вероятностей появилась вновь много позднее в работе над теорией перспектив Даниеля Канемана и Амоса Тверски. Однако, их эксперименты показали, что люди, совершенно наоборот, склонны преувеличивать вес отдельных маловероятных событий. Возможно, именно поэтому предложенное Николаем Бернулли решение некоторыми[кем?] не рассматривается как совершенно удовлетворительное.

Совокупная (кумулятивная) теория перспектив является одним из распространенных обобщений теории ожидаемой полезности, которое может предложить объяснения многим поведенческим закономерностям (Тверски, Канеман, 1992[2]). Однако, преувеличение веса маловероятных событий, вводимое в совокупной теории перспектив, может восстановить Санкт-Петербургский парадокс. Совокупная теория перспектив разрешает парадокс только для случаев, когда показатель функции полезности меньше показетеля функции взвешенной вероятности (Блаватский, 2005[3]). Интуитивно, для разрешения парадокса, функция полезности должна быть не просто вогнутой, а она должна быть вогнутой относительно функции взвешенной вероятности.

Отказ использовать математическое ожидание как метод расчета[править | править вики-текст]

Различные авторы, включая Жана ле Рон д'Аламбера и Джона Мэйнарда Кейнса, отрицали метод максимизации мат. ожидания как правильный метод расчетов, даже саму полезность мат.ожидания для таких случаев. В частности, Кейнс настаивал, что относительный риск альтернативого события может быть достаточно высоким для того, чтобы отказаться от всех вариантов наступления этого альтернативного события, даже для случая когда мат.ожидание положительного события сверхбольшое.

Другими словами, если казино предложит играть в эту игру за 25 дукатов, то подавляющее большинство игроков откажутся, посчитав более вероятность выигрыша при игре сумм меньше 25 дукатов.

Ответ использующий испытания[править | править вики-текст]

Подход с использованием испытаний, математически корректный, предложил Уильям Феллер в 1937 году. Если не использовать строгое описание, то интуитивное объяснение таково. Метод использует методику "играть в эту игру с большим количеством людей, и потом вычислить математическое ожидание выигрыша в испытаниях". Согласно этой методике, если последовательность ожиданий сумм выигрыша расходится, то в этом случае требуется необходимость условия возможности бесконечного количества проведенных игр, а если количество проведенных игр в испытаниях с одним человеком ограничено неким числом, то ожидание сходится к некоторому намного меньшему, чем это число, значению.

История возникновения[править | править вики-текст]

Парадокс был впервые опубликован Даниилом Бернулли в «Комментариях Санкт-Петербургской Академии»[4]. Ранее ситуация была описана племянником Даниила, Николаем I Бернулли, в его переписке с французским математиком Пьером Монмором (Pierre Rémond de Montmort).

Иногда авторство парадокса приписывают Леонарду Эйлеру[5], а название связывают с тем, что Эйлер длительное время жил и работал в Петербурге.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. de Montmort Pierre Remond Essay d'analyse sur les jeux de hazard. — Second. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1713. — ISBN 978-0-8218-3781-8.. Английский перевод: Pulskamp, Richard J Correspondence of Nicolas Bernoulli concerning the St. Petersburg Game (PDF (88 KB)). Проверено 22 июля 2010.
  2. Tversky, A.; Kahneman, D. (1992). «Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty». Journal of Risk and Uncertainty 5 (4): 297–323. DOI:10.1007/bf00122574.
  3. Blavatskyy, P. (2005). «Back to the St. Petersburg Paradox?». Management Science 51 (4): 677–678. DOI:10.1287/mnsc.1040.0352.
  4. Краткая биография Бернулли
  5. Новые грани Санкт-Петербургского парадокса

Литература[править | править вики-текст]

  • Кудрявцев А. А. Санкт-Петербургский парадокс и его значение для экономической теории // Вестн. С.-Петерб. ун-та.. — 2013. — В. 3. — С. 41–55.