Свободная абелева группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, свободная абелева группа (свободный Z-модуль) — это абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров.

Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы.[1][2]

Пример и контрпример[править | править вики-текст]

Формальные суммы[править | править вики-текст]

Для любого множества B можно определить группу \mathbb Z^{(B)}, элементы которой — функции из B во множество целых чисел, а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: (f+g)(x) = f(x) + g(x), относительно этого сложения \mathbb Z^{(B)} образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством B. Действительно, любому элементу x множества B можно сопоставить функцию ex, такую что ex(x) = 1 и ex(y) = 0 для всех yx. Любая функция f из \mathbb Z^{(B)} представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций:

f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x

Группа с базисом B единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов B.

Свойства[править | править вики-текст]

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция b из множества B в абелеву группу F является вложением базиса в эту группу, если для любой функции g из B в произвольную абелеву группу A существует единственный гомоморфизм групп G:F\to A, такой что g=G\circ b. Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом B эквивалентны.

Подгруппы[править | править вики-текст]

Теорема: Пусть F — свободная абелева группа и пусть G\subset F — её подгруппа. Тогда G также является свободной абелевой группой.

Для доказательства этой теоремы необходима аксиома выбора[4]. В книге Сержа Ленга «Алгебра» приводится доказательство, использующее лемму Цорна[5], тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский утверждали, что использование принципа вполне упорядочивания вместо леммы Цорна даёт более интуитивно понятное доказательство[6].

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат:

Теорема: Пусть G — подгруппа конечнопорождённой свободной группы F. Тогда G свободна, существует базис (e_1, \ldots, e_n) группы F и натуральные числа d_1|d_2|\ldots|d_k (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что (d_1e_1,\ldots, d_ke_k) образуют базис G. Более того, последовательность d_1,d_2,\ldots,d_k зависит только от F и G, но не от выбора базиса.[1]

Кручение и делимость[править | править вики-текст]

Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы x и ненулевого числа n, таких что nx = 0. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна[7]. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел \mathbb Q — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу[1].

Прямые суммы и произведения[править | править вики-текст]

Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий \mathbb Z (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых.[1]

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера \mathbb Z^{\mathbb N}, прямое произведение счётного числа копий \mathbb Z, не является свободной абелевой[8][9]. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой[10].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 Hungerford, Thomas W. II.1 Free abelian groups // Algebra. — Springer, 1974. — Vol. 73. — P. 70–75. — (Graduate Texts in Mathematics).
  2. Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. The Structure of Compact Groups: A Primer for Students - A Handbook for the Expert. — Walter de Gruyter, 2006. — Vol. 25. — P. 640. — (De Gruyter Studies in Mathematics). — ISBN 9783110199772.
  3. Mollin, Richard A.
    Advanced Number Theory with Applications
    . — CRC Press, 2011. — P. 182. — ISBN 9781420083293.
  4. Blass, Andreas. Injectivity, projectivity, and the axiom of choice // Transactions of the American Mathematical Society. — 1979. — Vol. 255. — P. 31–59. — DOI:10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6. Example 7.1 предоставляет модель теории множеств и несвободную проективную абелеву группу в этой модели, которая является подгруппой свободной абелевой группы \left(\mathbb{Z}^{(A)}\right)^n, где A — множество атомов.
  5. Lang, Serge. Algebra. — Springer-Verlag, 2002. — Vol. 211. — P. 880. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
  6. Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. — AMS, 2001. — Vol. 298. — P. 124–125. — (AMS Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780821826942.
  7. Lee, John M. Free Abelian Groups // Introduction to Topological Manifolds. — Springer. — Т. 202 (2nd ed.). — P. 244–248. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 9781441979407.
  8. Griffith, Phillip A. Infinite Abelian group theory. — University of Chicago Press, 1970. — P. 1, 111–112. — (Chicago Lectures in Mathematics). — ISBN 0-226-30870-7.
  9. Baer, Reinhold. Abelian groups without elements of finite order // Duke Mathematical Journal. — 1937. — Vol. 3. — № 1. — P. 68–122. — DOI:10.1215/S0012-7094-37-00308-9
  10. Specker, Ernst Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. — 1950. — Vol. 9. — P. 131–140.