Свободная группа

Граф Кэли свободной группы образованной двумя элементами a и b

В математике, а именно, в теории групп, группа $G$ называется свобо́дной гру́ппой, если существует подмножество $S$ в $G$, такое что каждый элемент $G$ записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов $S$ и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие $st=su^{-1}ut$.) Говорят, что $G$ (свободно) порождена $S$ и пишут: $F_S$ или $F_n,$ если $S$ есть множество из $n$ элементов.

Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).

Явная конструкция

Для формального понятия, которое обсуждалось выше, можно предъявить явную конструкцию (доказав тем самым существование свободных групп). Будем считать элементы множества $S$ «символами» и для каждого символа $s$ из $S$ введём символ $s^{-1};$ множество последних обозначим $S^{-1}$. Пусть

$T = S \cup S^{-1}.$

Определим слово над $S$ как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из $T,$ записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над $S$ становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово $\varepsilon$, которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над $S.$

Пример. $S = \{a, b, c\}$. $T = \{a, a^{-1}, b, b^{-1}, c, c^{-1}\}$. Два слова,

$\scriptstyle \alpha = abc^{-1}a, ~~ \beta = b^{-1}ba^{-1}.$

Их конкатенация:

$\scriptstyle \gamma = \alpha\beta = abc^{-1}ab^{-1}ba^{-1}.$

Напомним, что, к примеру, $\scriptstyle \alpha\varepsilon = \alpha = abc^{-1}a.$

Введём теперь правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из $S$ следует (предшествует) соответствующий ему символ из $S^{-1},$ то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова $\gamma$ (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово: $abc^{-1}.$

Свободной группой $F_S,$ порождённой множеством $S,$ (короче, свободной группой над $S$) называется группа редуцированных слов над $S$ с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства

• Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
• Свободная группа $F_n$ изоморфна свободному произведению $n$ копий $\Z$.
• Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
• Любая группа $G$ есть факторгруппа некоторой свободной группы $F_S$ по некоторой её подгруппе H. За $S$ могут быть взяты образующие $G$. Тогда существует естественный эпиморфизм $f:\;F_S \to G$. Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания $G = \langle S, H \rangle$.
• Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы $F(a,b)$ — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами $[a^n, b^m],$ $m,n\ne 0.$

Универсальность

Свободная группа $F_S$ — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством $S.$ А именно, для любой группы $G$ и любого отображения множеств $f\colon S \to G$ существует единственный гомоморфизм групп $\varphi\colon F_S \to G,$ для которого следующая диаграмма коммутативна:

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений $S \to G$ и гомоморфизмов $F_S \to G.$ Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Указанное выше свойство можно принять за определение свободной группы, при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество $S$ называется базисом группы $F_s.$ Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий, свободная группа — это функтор из категории Set в категорию Grp, являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора $\bold{Grp} \to \bold{Set}.$

Литература

• Гл. II, 1.2 // Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.