Свободная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Граф Кэли свободной группы образованной двумя элементами a и b

Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа G, для которой существует подмножество S \subset G такое, что каждый элемент G записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов S и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие st=su^{-1}ut.) Говорят, что G (свободно) порождена S и пишут: F_S или F_n, если S есть множество из n элементов.

Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).

Конструктивное определение[править | править вики-текст]

Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование[1][2]. Будем считать элементы множества S «символами» и для каждого символа s из S введём символ s^{-1}; множество последних обозначим S^{-1}. Пусть

T = S \cup S^{-1}.

Определим слово над S как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из T, записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над S становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово \varepsilon, которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над S.

Например, для S = \{a, b, c\}. T =  \{a, a^{-1}, b, b^{-1}, c, c^{-1}\}, два слова:

\alpha = abc^{-1}a, ~~ \beta = b^{-1}ba^{-1},

и их конкатенация:

\gamma = \alpha\beta = abc^{-1}ab^{-1}ba^{-1}.

Например, \alpha\varepsilon = \alpha = abc^{-1}a.

Далее вводится правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из S следует (предшествует) соответствующий ему символ из S^{-1}, то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова \gamma (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово: abc^{-1}.

Свободной группой F_S, порождённой множеством S (или свободной группой над S) называется группа редуцированных слов над S с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
  • Свободная группа F_n изоморфна свободному произведению n копий \Z.
  • Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
  • Любая группа G есть факторгруппа некоторой свободной группы F_S по некоторой её подгруппе H. За S могут быть взяты образующие G. Тогда существует естественный эпиморфизм f:\;F_S \to G. Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания G = \langle S, H \rangle.
  • Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы F(a,b) — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами [a^n, b^m], \, m,n\ne 0.

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

Свободная группа F_S — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством S. А именно, для любой группы G и любого отображения множеств f\colon S \to G существует единственный гомоморфизм групп \varphi\colon F_S \to G, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Free Group Universal.svg

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений S \to G и гомоморфизмов F_S \to G. Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Это свойство можно принять за определение свободной группы[3], при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество S называется базисом группы F_s. Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий, свободная группа — это функтор из категории множеств \bold{Set} в категорию категорию групп\bold{Grp}, являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора \bold{Grp} \to \bold{Set}.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. — М.: Мир, 1980. — С. 13.
  2. Гл. 5, § 14 // Основы теории групп / Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. — 3-е изд. — М.: Наука, 1982. — 288 с.
  3. Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4

Литература[править | править вики-текст]

  • Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6