Свободное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свободным произведением групп G_1 и  G_2 называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо соотношений между элементами G_1 и G_2. Иными словами, элементами свободного произведения этих групп являются классы эквивалентности всевозможных формальных произведений g_1 g_2 \dots g_k по отношению эквивалентности, порождённому соотношением «если два подряд идущих сомножителя, g_j и g_{j+1}, принадлежат одной и той же группе (G_1 или G_2), то их можно заменить на их произведение g_j g_{j+1}» (единица при этом считается общей для обеих групп).

Свободное произведение G_1 и G_2 обычно обозначается G_1*G_2.

Если группы заданы через порождающие и соотношения G_1=\langle S_1|R_1\rangle, G_2=\langle S_2|R_2\rangle то

G_1*G_2=\langle S_1\cup S_2|R_1\cup R_2\rangle

Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.

Примеры[править | править исходный текст]