Свободное произведение

Свободным произведением групп $G_1$ и $G_2$ называется группа, порождённая элементами этих двух групп, без каких-либо соотношений между элементами $G_1$ и $G_2$. Иными словами, элементами свободного произведения этих групп являются классы эквивалентности всевозможных формальных произведений $g_1 g_2 \dots g_k$ по отношению эквивалентности, порождённому соотношением «если два подряд идущих сомножителя, $g_j$ и $g_{j+1}$, принадлежат одной и той же группе ($G_1$ или $G_2$), то их можно заменить на их произведение $g_j g_{j+1}$» (единица при этом считается общей для обеих групп).

Свободное произведение $G_1$ и $G_2$ обычно обозначается $G_1*G_2$.

Если группы заданы через порождающие и соотношения $G_1=\langle S_1|R_1\rangle$, $G_2=\langle S_2|R_2\rangle$ то

$G_1*G_2=\langle S_1\cup S_2|R_1\cup R_2\rangle$

Это определение также допускает естественное обобщение на случай свободного произведения любого числа групп.

Примеры

• Свободное произведение $\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_2$ изоморфно бесконечной группе диэдра $D_{\infty}$.
• Свободное произведение $\mathbb{Z}_2*\mathbb{Z}_3$ изоморфно проективной группе $PSL(2,\mathbb{Z})$.
• Свободное произведение $n$ копий $\mathbb{Z}$ — свободная группа с $n$ образующими.