Свободные частицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свободные частицы — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами, и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образовывает идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частичек.

Классическая механика[править | править вики-текст]

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

  •  E = T = \frac{mv^2}{2} , где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.
  •  E = T = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} , где с — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика[править | править вики-текст]

Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера

 i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

 \psi_\mathbf{k} = A_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - itE/\hbar} ,

где

 E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} ,

 A_\mathbf{k} любое комплексное число.

Волновой вектор  \mathbf{k} является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется  \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} . В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется E. Однако, квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах[править | править вики-текст]

Гамильтониан свободной частицы

H =- \frac{\hbar^2}{2m} \Delta

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид[1]

\Delta = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left(\sqrt{g} g^{ik} \frac{\partial}{\partial q^k} \right)

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:[2]

H =- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left(\sqrt{g} g^{ik} \frac{\partial}{\partial q^k} \right)

Классическая функция Гамильтона имеет вид

H_c (\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \frac{1}{2 m} g^{i k}(\mathbf{q}) p_{i} p_{k}

В данной случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально[3]

H (\mathbf{P}, \mathbf{Q}) = \frac{1}{2 m} \left( g^{i k}(\mathbf{Q}) P_{i} P_{k} + i \hbar g^{is}(\mathbf{Q}) \Gamma_{is}^k(\mathbf{Q})P_k\right)

Релятивистская квантовая частица[править | править вики-текст]

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц. Для электронов и вместе с тем их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса p энергия частиц равняется

 E = \pm c \sqrt{m^2c^2 + p^2} ,

где знак + соответствует электрону, а знак — соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частичка описывается уравнением Клейна — Гордона.

Примечание[править | править вики-текст]

  1. Оператор Лапласа на римановом многообразии называют оператором Лапласа — Бельтрами.
  2. Флюгге, 2008
  3. Тахтаджян, 2011

Литература[править | править вики-текст]

  • Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
  • Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0