Связная сумма

Связная сумма сферы с двумя ручками и тора.

Связная сумма — конструкция в топологии, позволяющая построить связное $n$-мерное многообразие по двум данным связным $n$-мерным многообразиям.

Связная сумма многообразий $M$ и $N$ обычно обозначается $M\# N$.

Построение

Для построения связной суммы $M\# N$ необходимо вырезать из $M$ и $N$ по открытому шару и склеить полученные сферические края по гомеоморфизму. Если оба многообразия ориентируемы, то при склеивании учитывается ориентация.

Для определения связанной суммы в гладкой категории, склеивают воротнички у края по диффеоморфизму.

Эта операции однозначно определена с точностью до гомеоморфизма и соответственно диффеоморфизма.

Примеры

• $S^n\# M^n$ гомеоморфно $M^n$.

Свойства

• Операция связной суммы коммутативна с точностью до диффеоморфизма; то есть, $M\# N$ диффеоморфно $N\#M$.
• Относительно операции связной суммы, гладкие структуры на сфере образуют группу.

Вариации и обобщения

• Связная сумма узлов (англ.)