Связное двоеточие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова — наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определение[править | править вики-текст]

Связным двоеточием называется топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов \circ («открыто») и \bullet («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

  1. \varnothing — пустое множество;
  2. \{\circ\} — множество из одного элемента «открыто»;
  3. \{\circ,\bullet\} — всё пространство.

Описание[править | править вики-текст]

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только \{\circ\}, а замкнутым — только \{\bullet\}. Мы видим, что точка \bullet не имеет окрестностей кроме всего пространства, следовательно пространство нарушает аксиому T1, а значит и не является хаусдорфовым. Также мы видим что точка \circ не является замкнутым подмножеством.

Свойства[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — ISBN 5-354-00822-0

Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.