Связность Леви-Чивиты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии M, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность \nabla на римановом многообразии (M,\;g) называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

  1. (римановость) для любых векторных полей X, Y, Z верно
         X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z),
    где X(g(Y,\;Z)) обозначает производную g(Y,Z) в направлении X.
  2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей X и Y
         \nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0,
    где [X,\;Y] скобки Ли векторных полей X и Y.

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также[править | править вики-текст]