Свёртка тензора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности (m, n) в тензор валентности (m-1, n-1). В координатах она записывается следующим образом:

{T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}} \rightarrow {T^{i_1, \dots, i_n}_{j_1, \dots, j_n}} = {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, т.е. в данном случае по i_0.

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, A^i_j B^j_k есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

 \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}.

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
  • Свёртка A^i_{\ j} v^j вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
  • Свёртка \ B_{ij} a^i b^j векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором \ g_{ij} a^i b^j дает их скалярное произведение.
  • В том числе \ B_{ij} v^i v^j - квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
  • Свёртка \ a_j b^j ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
  • Свёртка A^j_{\ j} тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы A^i_{\ j}. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
  • Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}

Свойства[править | править исходный текст]

  • Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).